Dwunaste Studium ICMI: Perspektywy nauczania i uczenia się algebry.

Wprowadzenie do dyskusji

Wstęp

Poniższy tekst jest wprowadzeniem do nowego Studium ICMI, zatytułowanego Perspektywy nauczania i uczenia się algebry¹, którego konferencja odbędzie się w Melbourne (Australia) w grudniu 2001. Jest naszą intencją, by słowo ,,algebra" było w nim interpretowane szeroko, tak by objąć różnorodne rozpowszechnione jej definicje, wykraczające poza standardowe programy niektórych krajów. Obejmie ono, na przykład, algebrę jako język do uogólnień, abstrakcji i dowodzenia; algebrę jako narzędzie rozwiązywania zadań z pomocą równań lub wykresów; modelowania z pomocą funkcji; a także sposób użycia pojęć i symboli algebry w innych dziedzinach matematyki i poza matematyką. Zainteresowanie uczestników skupiać się będzie zapewne na nauczaniu matematyki w szkole średniej (11 - 18 lat) i algebrze zmiennych rzeczywistych, jednak Studium zajmie się także algebrą uniwersytecką (np. algebrą liniową i abstrakcyjną), a także algebrą i pre-algebrą na poziomie wczesnoszkolnym.

Jest wiele powodów do zajęcia się właśnie teraz perspektywą nauczania i uczenia się algebry. Znajdujemy się w punkcie krytycznym, gdzie trzeba zdać sobie sprawę z dotychczasowych osiągnięć i spojrzeć w przyszłość, by powiedzieć, co należy i co można zrobić. W wielu krajach rośnie liczba uczniów kształcących się na poziomie średnim, co stwarza konieczność przyjrzenia się wszystkim działom programu. A troska o równość szans i adekwatność odnosi się, być może, bardziej do algebry niż do innych działów matematyki. Jako język matematyki wyższej, algebra jest paszportem do przyszłych studiów i poznania ważnych idei matematycznych; jednocześnie jednak jest ona dla wielu nieprzebytym murem, zamykającym drogę dalszego kształcenia. Czy należy uczynić algebrę dostępniejszą dla większej liczby uczniów przez zmianę treści lub sposobu nauczania? Wiele krajów wkroczyło już na drogę takich zmian, w nadziei na zwiększenie dostępności i sukcesu. Z drugiej jednak strony trzeba zapytać, czy te zmiany są potrzebne; czy algebra jest naprawdę użyteczna dla większości ludzi, a nawet jeżeli jest dzisiaj - czy będzie w przyszłości?

Program algebry, który będzie dobrze służył uczniom w nadchodzącym stuleciu, może być bardzo różny od idealnego programu sprzed lat. Rosnąca dostępność komputerów i kalkulatorów spowoduje, że inna matematyka będzie użyteczna i inaczej będzie się matematykę uprawiać. Z drugiej strony, ta sama rewolucyjna technologia informatyczna, która stwarza wyzwanie dla treści nauczania algebry, stwarza nowe bogate możliwości dydaktyczne i nowe ścieżki do zrozumienia dla uczniów. W ubiegłym dwudziestoleciu dokonano wielu istotnych badań nad uczeniem się i nauczaniem algebry w różnych aspektach, a także przeprowadzono wiele eksperymentów z nowymi programami i metodami nauczania. Dysponujemy więc solidną bazą naukową, na której będzie oparte Studium.

Zarys programu

Studium ma dwa cele:
- dokonać syntezy aktualnych poglądów i wyciągnąć nauki z przeszłości, co pomoże nadać kierunek przyszłej pracy w tej dziedzinie,
- zaproponować kierunki poprawy nauczania i uczenia się algebry.
Zgodnie z przyjętym schematem takich studiów, Dwunaste Studium będzie złożone z dwóch elementów: zamkniętej konferencji i książki, wydanej w serii ICMI Study Series, która upowszechni wyniki. Na kongresie ICME-10 w roku 2004 będzie też przedstawione sprawozdanie ze Studium. Konferencja będzie obejmować referaty plenarne i równoległe, grupy robocze i dyskusje panelowe. Przewiduje się co najmniej dwa panele. Jeden będzie dążył do sprecyzowania jakichś perspektyw dla algebry, aktywności algebraicznej i myślenia (czy rozumienia) algebraicznego. Drugi zajmie się istotnymi różnicami w nauczaniu algebry w świecie i wskazaniem głównych tendencji w celach, treściach i metodach nauczania. Większość czasu uczestnicy konferencji spędzą w grupach roboczych, zajmujących się różnymi aspektami tematu Studium.

Dlaczego algebra?

Przyszłość technologiczna współczesnego społeczeństwa jest w dużej mierze zależna od podstawowych kompetencji matematycznych obywateli, co ma odbicie w światowym trendzie masowego kształcenia średniego. Algebra jest paszportem do większości kierunków wyższych studiów, a zatem do różnych profesji. Pedagodzy argumentują też, że algebra jest częścią dziedzictwa kulturowego, a także jest niezbędna do kompetentnego i krytycznego pełnienia funkcji obywatelskich. Jednocześnie jednak algebra stanowi dla wielu uczniów nieprzebyty mur, którego nie są w stanie przekroczyć. Ten rozdział Studium zajmie się znaczeniem algebry dla szerokiej społeczności uczniów szkół średnich. Zakładamy przy tym, że różnice kulturowe mogą interesująco wpływać na odpowiedzi. Stawiamy sobie m. in. pytania:
- Czy należy wszystkich uczyć algebry? Nawołuje się do nauczania algebry we wszystkich klasach szkoły średniej; jakie jednak aspekty algebry mają naprawdę wartość dla wszystkich? Co powinien zawierać program minimum? Jak odnieść odpowiedzi na te pytania do różnic regionalnych lub kulturowych?
- Czego oczekujemy od człowieka posiadającego elementarną kompetencję algebraiczną? Jakie wartości ma dla jednostki uczenie się algebry, szczególnie w perspektywie rosnących możliwości technologii informatycznej? Dostęp do wyższych studiów i zatrudnienia to dwie wartości; jakie jednak są wartości bardziej bezpośrednie i jak je można osiągnąć?
- Jak zmienić program algebry, by jej uczenie się miało bardziej bezpośrednie wartości dla uczniów? Czy umiemy wskazać przykłady bliskich uczniom kontekstów, w których idee algebraiczne mają jasną, niedwuznaczną wartość? Czy takie podejście do algebry ma też niepożądane konsekwencje?
- Jak zmienić program algebry, by uprzystępnić specyficzne i trudne pojęcia?

Podejścia do algebry

Ostatnio prowadzone badania koncentrują się na podejściach zmierzających do kształtowania znaczeń obiektów i procesów algebraicznych. Podejścia te obejmują nauczanie przez rozwiązywanie zadań tekstowych, nauczanie czynnościowe², uogólnianie, nauczanie algebry jako języka i inne. W rozwiązywaniu zadań tekstowych chodzi o analizę zadania prowadzącą do równania, gdzie litery traktuje się jako niewiadome. Nauczanie czynnościowe nadaje obiektom algebraicznym inne znaczenia; na przykład używa się tu wyrażeń algebraicznych do zapisania relacji i interpretuje się litery w terminach zmieniających się wielkości. Jeszcze inny obraz algebry zarysowuje podejście przez uogólnianie, gdzie istotne jest ogólne reprezentowanie form geometrycznych, ciągów liczbowych czy reguł rządzących relacjami numerycznymi; jest to często podstawą do badania bardziej podstawowych struktur numerycznych, przewidywania, uzasadniania i dowodzenia. W niektórych programach rozwija się tylko jedno z tych podejść przez kilka lat nauki, inne próbują równolegle łączyć elementy kilku u nich.

Syntetyzując zdobyte doświadczenie tych różnych podejść do nauczania i uczenia się algebry i wyniki badań, stajemy m. in. wobec następujących pytań:
- Co znaczy każde z tych różnych podejść dydaktycznych?
- Jakie znaczenia i jakich pojęć kształtuje każde z nich?
- Jakie przeszkody epistemologiczne tkwią w każdym z nich?
- Jakim ważnym aspektom algebry sprzyja, a jakie zaniedbuje każde z nich?
- Na jakie trudności napotykają uczniowie, gdy rozszerzają znaczenia ukształtowane przez jedno podejście tak, by objęło znaczenia tkwiące w innych podejściach?

Językowe aspekty algebry

Ten rozdział dotyczy teoretycznych i praktycznych aspektów języków i systemów symbolicznych algebry w odniesieniu do nauczania i uczenia się. Rozwoju algebry nie da się oddzielić od rozwoju jej języka i symboliki. Wprowadzenie dobrej symboliki miało w historii ogromny wpływ na rozwój algebry; ale symbolika dobra dla nauki niekoniecznie jest dobra do uczenia się. Wraz z techniką komputerową rozkwita teraz nowa, quasi-algebraiczna symbolika, która może podpowiedzieć, faworyzować czy nawet wymusić nową symbolikę w algebrze. A tymczasem nie wydaje się, by aktualne teorie nauczania i uczenia się matematyki miały coś do powiedzenia na temat nauczania i uczenia się symboliki. Pora więc zająć się tym zagadnieniem i postawić następujące pytania:
- Algebra nie jest językiem, ale ma język, a tych dwu rzeczy nie da się rozdzielić. Co znaczy mówić o algebrze jako języku i jakie są implikacje tej perspektywy?
- Dysponujemy szeroką gamą teorii mówiących o uczeniu się i nauczaniu matematyki (w szczególności teorie konstruktywistyczne), jednak uczenie się języka nie sprowadza się do uczenia się pojęć. W jakim stopniu uznane teorie uczenia się i nauczania matematyki obejmują niepojęciowe aspekty uczenia się języka algebry i co możemy zaproponować, by te aspekty należycie wziąć pod uwagę?
- Czy pewne zmiany języka algebry przyczyniłyby się do rozwoju algebraicznego myślenia, komunikowania się i rozumienia?
- Czy jest możliwe i pożądane usunięcie pewnych dwuznaczności, obecnych w standardowej symbolice matematycznej, jak np. użycie znaku równości?
- Czy ucząc matematyki należy starać się wyjaśnić i zniwelować różnice w symbolice algebry nauczanej w kursie matematyki i algebry, jakiej używa się w innych naukach?
- Co charakteryzuje dobrą symbolikę? Co ma na ten temat do powiedzenia dydaktyka matematyki? Czy są elementy symboliki, których jedne odmiany są lepsze w nauce, a inne lepsze w nauczaniu?

Nauczanie i uczenie się z użyciem systemów algebry komputerowej³. Należy oczekiwać, że nadchodząca era szeroko dostępnych systemów komputerowych i kalkulatorów, które mogą przeprowadzać rachunki symboliczne, doprowadzi do daleko idących zmian w programach i nauczaniu matematyki. Ten rozdział dotyczy zagadnień, które pojawiają się w związku z rosnącą dostępnością komputerowej manipulacji symboliką. Odpowiedzi będą oparte zarówno na danych pochodzących z badań nad nauczaniem i uczeniem się algebry, jak i na wynikach eksperymentów. Mogą one sugerować dalsze kierunki badań, w tym następujące:
- Dla jakich uczniów i kiedy jest właściwe wprowadzenie użycia systemu algebry komputerowej? Kiedy korzyści z posługiwania się takim systemem równoważą wysiłek włożony w jego opanowanie? Czy są takie aktywności z użyciem takich systemów, które z pożytkiem mogliby podjąć też młodsi uczniowie?
- Jakie rodzaje intuicji algebraicznej i "wyczucia symbolicznego" potrzebuje korzystający z systemu algebry komputerowej, a jakich intuicji dostarcza używanie takiego systemu?
- Mocną stroną systemów algebry komputerowej jest to, że umożliwiają one różne reprezentacje pojęć matematycznych. Jak można tego dobrze używać? Czy można tego nadużyć?
- Jakie są powiązania i interakcje między różnymi metodami i koncepcjami nauczania matematyki z użyciem systemów algebry komputerowej?
- Uczniowie posługujący się różnymi narzędziami rachunkowymi różnie rozwiązują zadania i różnie rozumieją pojęcia. Nauczyciele mają więcej dróg nauczania do wyboru. Jaki ma to wpływ na nauczanie i uczenie się? Jaki typ systemu sprzyja jakim rodzajom uczenia się? Czy te różnice można scharakteryzować teoretycznie?
- Jak powinien wyglądać program algebry w kraju, gdzie systemy algebry komputerowej są powszechnie dostępne? Jakie "ręczne" umiejętności powinny być w nim pozostawione?

Środowiska technologiczne

Zarówno badania, nowe programy i podręczniki, jak wreszcie praktyka szkolna wprowadziły ostatnio nowe technologie, pomagające uczniom w ukształtowaniu znaczenia różnych obiektów, pojęć i procesów algebraicznych. Obejmują one tworzenie wykresów funkcji, arkusze kalkulacyjne, języki programowania, programowanie w jednej linii na kalkulatorze i inne specyficzne środowiska komputerowe. (Pomijamy tu systemy algebry komputerowej, omawiane gdzie indziej.) Dla scharakteryzowania aktualnych badań i doświadczeń, ten rozdział zajmie się zbadaniem, jakie aspekty specyficznych środowisk komputerowych i kalkulatorowych odnoszą się do jakich typów uczenia się algebry. Ta kwestia zostanie dogłębnie zbadana dla wybranych rodzajów technologii i odpowiemy m. in. na następujące pytania:
- Jakie aspekty algebry uznano milcząco za podstawowe w danym środowisku komputerowym?
- Jakie ważne aspekty algebry nie zostały uwzględnione przez to środowisko?
- Jakim typom uczenia się algebry sprzyja to środowisko?
- Jakie szczególne ograniczenia wiążą się z tym środowiskiem i jak można się pozbyć tych ograniczeń?
- W jakim stopniu dostępność tej technologii powinna wpłynąć na cele nauczania algebry?
- Do jakich aspektów uczenia się algebry ta technologia przyczynia się w wyraźny i unikalny sposób?
- Czy znane są udokumentowane długofalowe konsekwencje włączenia tej technologii w programie algebry, a jeżeli tak, jakie?

Doniesienia przeznaczone do tego rozdziału powinny omawiać jak najwięcej spośród tych kwestii, jednak uwagę należy skupić szczególnie na dwóch pierwszych.

Algebra z wykorzystaniem realnych danych

Modelowanie zachowania się rzeczy realnych z pomocą algebry i funkcji stanowi podstawę zastosowań matematyki. Użycie realnych danych w nauce o funkcjach jest więc ważnym elementem programu i może też być silnie motywujące dla uczniów. Ponadto nowe urządzenia (takie jak data loggers) i nowe technologie komunikacyjne (takie jak internet) stwarzają nowe możliwości dostępu uczniów do realnych i aktualnych danych. Powstają więc m. in. następujące zagadnienia:
- Jakie nowe możliwości użycia realnych danych okazały się użyteczne i jak mają się one do badań nad uczeniem się funkcji i innych pojęć algebraicznych?
- Jakie są mocne i słabe strony użycia realnych danych i jak najlepiej wykorzystać to w klasie i programie nauczania?
- Dążenie do posługiwania się tylko realnymi danymi może prowadzić do istotnych zmian w treści i strukturze programu nauczania, na przykład przez wysunięcie na pierwszy plan funkcji wykładniczej, a nie kwadratowej. Jakich więc trzeba dokonać zmian i jakie będą ich konsekwencje?
- Interpretowanie realnych danych może wywołać pytanie, dlaczego świat jest, jaki jest. Jaka jest rola nauczania algebry w kształtowaniu krytycznego myślenia o kwestiach społecznych, jak ekonomia, zdrowie i środowisko?

Wykorzystanie historii algebry

Historia algebry była szeroko wykorzystana do identyfikacji przeszkód epistemologicznych w uczeniu się algebry i do scharakteryzowania nieciągłości w rozwoju pojęć algebraicznych. W oparciu o historię (lub historie) algebry z całego świata podsumowany tu zostanie istotny wkład dokonany przez te wcześniejsze analizy, a także zasugerowane możliwe kierunki badań zakorzenionych w nowych obszarach historii, w tym:
- historii symboliki; tj. historii sposobów reprezentowania wielkości i operacji w rachunku;
- historii metod rozwiązywania problemów;
- historii interakcji algebry z innymi gałęziami matematyki (jak geometrią); i
- rozwoju idei struktur algebraicznych.

Wczesne nauczanie algebry

Ten rozdział obejmuje dwa sposoby odczytania tytułu: nauczanie dzieci - powiedzmy od 6 lat wzwyż, ale także pierwsze kroki w bardziej formalnym nauczaniu algebry, co w niektórych krajach dotyczy 12-latków. Aktualnie rozważaną kwestią jest stosunek arytmetyki do algebry. Wcześniejsze badania ujawniły, że ograniczenia kompetencji w zakresie arytmetyki mogą stanowić przeszkodę w uczeniu się algebry, a więc wcześniejsze rozpoczęcie nauki tej ostatniej mogłoby zmniejszyć trudności; zaproponowano też, jak to zrobić. Z drugiej jednak strony, wciąż duże wzięcie ma podejście oparte na traktowaniu algebry jako uogólnionej arytmetyki, a w tym przypadku za wczesny start nie byłby właściwy. Krótko mówiąc, różne poglądy na stosunek arytmetyki i algebry doprowadzą prawdopodobnie do różnych poglądów na nauczanie algebry; ten właśnie najważniejszy fakt jest głównym tematem rozdziału. Zainteresowanie nauczaniem algebry na etapie wczesnoszkolnym jest nowe, toteż dysponujemy tu tylko niewielką liczbą badań. Ważne jest, żeby odpowiedzi na poniższe pytania były silnie poparte badaniami.
- Jak wczesna jest ,,wczesna algebra" i jakie są dobre i złe strony wczesnego startu? Jak odpowiedzi na te pytania mają się do poglądów na rozwój poznawczy i na uczenie się, a także do tradycji kulturalnych i pedagogicznych?
- Jakie aspekty algebry i myślenia algebraicznego powinny wchodzić do wczesnoszkolnego nauczania algebry? Skoro symboliczny aspekt algebry jest tak istotny, wczesne jego wprowadzenie może być korzystne; lecz czy nie jest ważniejsza (na przykład) świadomość, że algebra jest metodą rozwiązywania zadań?
- Jakie są konsekwencje wczesnego rozpoczynania algebry dla nauczycieli i ich kształcenia?

Algebra uniwersytecka

W nauczaniu i uczeniu się algebry w ramach kursów uniwersyteckich, jak algebry abstrakcyjnej, algebry liniowej i teorii liczb, obserwuje się rozmaite problemy. Niektóre z nich są podobne do problemów związanych z nauką algebry w szkole średniej: trudności z abstrakcją, wątpliwości na temat treści, co robić z techniką komputerową itp. Inne, takie jak dowodzenie czy dostrzeganie w obiektach analizy matematycznej obiektów algebraicznych, są specyficzne dla poziomu uniwersyteckiego. Poniższe pytania dotyczą tych właśnie spraw dotyczących uczenia się i nauczania, a także spraw związanych ze specyfiką kształcenia nauczycieli.
- Jaki wkład w wykształcenie nauczyciela szkoły średniej mają uniwersyteckie kursy algebry? Jak nauczyciele szkoły średniej oceniają przydatność algebry uniwersyteckiej dla swojej praktyki nauczania?
- Szkolne nauczanie algebry było szeroko badane i znaleziono specyficzne przeszkody w przejściu od myślenia arytmetycznego do algebraicznego. Czy studenci przeżywają podobne trudności przy przechodzeniu z myślenia algebraicznego na poziomie średnim na takie, jakiego wymaga poziom uniwersytecki?
- Dlaczego pewne typy definicji są trudne dla studentów? Na przykład, dlaczego tak trudne są definicje formułowane w terminach własności, jakie ma spełniać definiowany obiekt (np. podprzestrzenie i automorfizmy grup)? Jak poradzić sobie z tym problemem?
- Są specyficzne problemy, dotyczące pewnych aspektów niektórych kursów algebry; na przykład, dlaczego studenci, którzy wydają się być kompetentni w Rⁿ, mają trudności z bardziej szczegółowymi pytaniami dotyczącymi R² i R³? Jak sobie poradzić z takimi trudnościami?
- Jak na umiejętność dowodzenia i docenianie jego wartości przez studentów wpływa logika symboliczna (zdania, spójniki, kwantyfikatory, tautologie, reguły dowodzenia)?
- Algebra w szkole średniej zdaje się prowadzić raczej w kierunku zastosowań i modelowania matematycznego na poziomie uniwersyteckim niż do algebry abstrakcyjnej. Co się tu dzieje?
- Czy w szkole średniej uczniowie powinni uczyć się więcej o strukturach algebraicznych?

Uczestnictwo

Konferencja odbędzie się na Uniwersytecie w Melbourne od 10 do 14 grudnia 2001. Zgodnie z praktyką studiów ICMI, w konferencji uczestniczą tylko osoby zaproszone. Podstawą zaproszenia jest przyjęcie zgłoszonego referatu. Referat może dotyczyć różnych rozdziałów Studium, ale powinien koncentrować się na jednym z nich. Szczególną uwagę należy zwrócić na implikacje dla uczenia się i nauczania algebry w przyszłości. Referat może być omówieniem własnych badań (ukończonych lub w toku), albo prezentować dobrze uzasadnione opinie. Szczególnie dobrze widziane będą artykuły przeglądowe i syntezy.

Referaty mogą nadsyłać wszystkie zainteresowane osoby, które chcą wnieść istotny wkład w to naukowe spotkanie. Szczególnie zachęcamy młodych badaczy, a także osoby zaangażowane w tworzenie i wdrażanie programów nauczania matematyki. Konferencja będzie znakomitą okazją do wymiany międzynarodowej; dlatego gorąco zapraszamy do udziału przedstawicieli krajów słabo reprezentowanych w światowej dydaktyce matematyki. Mamy nadzieję, że interakcja nauczycieli matematyki od klas początkowych po uniwersytet, dydaktyków matematyki i matematyków przyniesie nowe spojrzenie i wskazania do przyszłej pracy.

Referat, w języku angielskim, powinien mieć objętość 5 do 8 stron i dotrzeć do Komitetu Programowego do 31 stycznia 2001. Do materiałów konferencyjnych wymagana będzie kopia camera ready. Inne szczegóły dotyczące referatów i konferencji można znaleźć na stale aktualizowanej stronie internetowej (adres poniżej). Opłata konferencyjna łącznie z zakwaterowaniem wyniesie mniej niż 500 USD.

Przewodniczący Komitetu Programowego, prof. Kaye Stacey
Dr Helen Chick (sekretarz)
Department of Science
and Mathematics Education
University of Melbourne
Victoria 3010,
Australia

h.chick@edfac.unimelb.edu.au

http://www.edfac.unimelb.edu.au/DSME/icmi-algebra/

(Na podstawie Biuletynu ICMI nr 48, czerwiec 2000.
Z angielskiego tłumaczył Stefan Turnau)

¹The Future of the Teaching and Learning of Algebra
²functional approach
³Computer Algebra Systems