DM23 - O podręczniku matematyki (Z podziękowaniami dla Stefana Turnaua)

Marek Legutko
Okręgowa Komisja egzaminacyjna w Krakowie

O podręczniku matematyki
(Z podziękowaniami dla Stefana Turnaua)

1. Przygoda z podręcznikiem

Zespołowa praca nad podręcznikiem matematyki może mieć charakter intelektualnej przygody. Dużo zależy od osoby kierującej zespołem, która powinna stworzyć twórczą, otwartą, partnerską atmosferę - dotyczy to zwłaszcza sytuacji, gdy członkowie zespołu mają różny poziom doświadczenia życiowego i zawodowego. Nasza przygoda z podręcznikiem matematyki (piszę te słowa także w imieniu Marii Legutko) rozpoczęła się w lipcu 1975 roku podczas przypadkowego spotkania ze Stefanem Turnauem (i jego synami Marcinem i Grzegorzem) na drodze do Morskiego Oka. Zaczęliśmy rozmawiać o matematyce i jej nauczaniu. Rozmawialiśmy dalej w czasie wspinania się drogą na Szpiglasową Przełęcz, rozmowy nie zakończyliśmy nawet nad Doliną Pięciu Stawów.

Ta podróż sprzed lat, wspinaczka, wysiłek i trud ale także satysfakcja, głębokie doznania, obcowanie z potęgą i pięknem, jest dla nas wciąż metaforą wspólnej intelektualnej przygody podczas prac nad podręcznikami matematyki.

2. Z podręcznikiem w czas reform

Przez ostatnie ćwierć wieku podejmowano w Polsce mniej lub bardziej intensywnie próby reformy nauczania matematyki. Stefan Turnau nigdy nie był obojętny wobec prac reformatorów, pełniąc często rolę, którą dziś w literaturze zachodniej określa się mianem "critical friend". Jego wystąpienia, zawsze znaczące, pełne były pasji i zaangażowania, krytycyzmowi towarzyszyły jednak zawsze propozycje czy sugestie kierunku prac nad ulepszeniem nauczania matematyki. Świadectwa tej drogi postępowania można znaleźć w pracy habilitacyjnej Stefana Turnaua, "Rola podręcznika szkolnego w kształceniu pojęć i rozumowań matematycznych na poziomie pierwszej klasy ponadpoczątkowej" (1978). We wstępie czytamy:

Łatwo jest zmienić treść nauczania, lecz niezmiernie trudno zmienić nauczanie jako takie.

Zbyt powszechnie nauczanie matematyki, szczególnie na niższym szczeblu, jest identyfikowane z wyuczaniem. Konieczne jest zastosowanie środ\-ka, który nie tylko ułatwiałby nauczanie-aktywizację, ale też uniemożliwiał nauczanie-wyuczanie.

Wydaje się, że wobec powszechnego, silnego wzorowania się nauczycieli w organizowaniu nauczania na podręczniku uczniowskim, możliwe jest częściowe przynajmniej spełnienie tego postulatu przez odpowiednią konstrukcję podręcznika.

3. Rady dla autorów podręczników matematyki

Warto przypomnieć konkluzje pracy habilitacyjnej Stefana Turnaua (obudowane tam wieloma przykładami i szeroko omówione), które nadal mogą znaleźć się w nieopublikowanym jeszcze przewodniku dla autora podręcznika matematyki.

Reguły (definicje, twierdzenia, algorytmy) powinny być wprowadzane po długiej sekwencji zadań rozwiązywanych pojęciowo. Na plan pierwszy warto wydobyć postępowanie oparte na danej regule. Można w tym celu podać przykład paradygmatyczny zamiast ogólnego sformułowania, można włożyć regułę "w usta" fikcyjnych postaci podręcznika, które wypowiadają ją w trakcie jej odkrywania, a więc w związku z konkretnym przykładem. Regułom powinny zawsze towarzyszyć przykłady ich stosowania, traktowane jako konieczne ich uzupełnienie.

Podręcznik ma być przewodnikiem ucznia, pomagającym mu w różnych sytuacjach, w jakich zostanie postawiony, trafić na ścieżkę wiodącą ku matematyce. Sytuacje konkretne i zadania o treści praktycznej powinny być punktem wyjścia do abstrakcji i uogólnień zorientowanych na określone pojęcia i twierdzenia matematyczne. Twierdzenia, a więc ogólne własności pojęć, ich relacje, związki między operacjami, powinny być przez ucznia odkrywane w toku jego własnej aktywności, lub współodkrywane w toku lektury, nie zaś poznawane jako gotowe elementy wiedzy.

Źródło, z którego wypływa przekonanie o ogólnej prawdziwości twierdzenia, nie musi mieć zawsze charakteru zbliżonego do matematycznego dowodu. Daleko ważniejsze jest, by przekonanie to było głębokie i pełne. Wystarczy, by uczeń dostrzegł na dobrze dobranym przykładzie paradygmatycznym, że "tak musi być zawsze". Podręcznik nie powinien budować przekonania o prawdziwości twierdzenia na podstawie indukcji niezupełnej.

Jeśli nauczanie ma być organizowaniem uczenia się, zaś uczenie się - aktywnością typu matematycznego, to podręcznik powinien dostarczać materiału do tej aktywności. Praktyka szkolna wymaga przy tym, by podręcznik pełnił równocześnie rolę przewodnika dla ucznia pokazującego w tym materiale ścieżki wiodące do celu oraz poradnika przestrzegającego przed pułapkami, pomagającego pokonać trudności, rozwiać wątpliwości, wyjaśnić rzeczy niezrozumiałe, itp. Wówczas nauczyciel będzie mógł zorganizować efektywną samodzielną pracę uczniów, zawierzając sterowanie nią podręcznikowi.

Język podręcznika powinien być maksymalnie komunikatywny, jak najbliższy codziennego języka ucznia. Formą tekstu, która znacznie ułatwia realizację tego postulatu jest dialog, którego osobami są dzieci - rówieśnicy uczniów. Umiejętności czytania tekstu matematycznego powinno uczyć się stopniowo, z wykorzystaniem różnych środków dydaktycznych, także typowych błędów, stosując właściwą dla wieku ucznia motywację. Ważne zadanie do spełnienia ma tu podręcznik ucznia.

Struktura podręcznika powinna odpowiadać spiralnemu tokowi nauczania. Chodzi tu o wprowadzanie wiedzy na takim poziomie ogólności i formalizacji, przy pomocy takich środków upoglądowienia i motywacji, by możliwe było jej operatywne i głębokie przyswojenie na danym poziomie nauczania. Gdy do tych samych pojęć i faktów powraca się w nauczaniu uczniów posiadających większe doświadczenie intelektualne, ponownie opracowuje się je na adekwatnym, a więc wyższym poziomie ogólności i formalizacji, przy użyciu innych środków.

Warstwa motywacyjna podręcznika często decyduje o efektywności jego stosowania. Środki motywacji powinny:
- wykorzystywać naturalne, aktualne zainteresowania uczniów, nie zaś zainteresowania pożądane ze względów ogólnowychowawczych lub innych,
- uwzględniać obserwowane u niektórych uczniów zainteresowanie sytuacjami czysto abstrakcyjnymi (wbrew poglądowi, że dzieci interesują się tylko zagadnieniami praktycznymi),
- obejmować gry, zabawy i łamigłówki, wykorzystując występujące często u dzieci predylekcję do tego typu aktywności umysłowej,
- korzystać z występującego u wielu dzieci poczucia zadowolenia estetycznego wobec przejawów regularności w samej matematyce lub graficznych sposobach jej wyrażania.

Stefan Turnau i kierowane przez niego zespoły autorów podręczników starali się stosować powyższe rady w praktyce. Poniższy przykład pochodzi z podręcznika matematyki do klasy IV.

4. Przykład

Jakie wymiary może mieć prostokąt o polu 3 razy większym od pola tego prostokąta?

Uczeń może przeczytać co Tomek odpowiedział i co zapisał na tablicy:

Tomek popełnił błąd, na co od razu reaguje Agnieszka:

Do dyskusji włącza się Dyzio, ostatnie słowo należy jednak do Agnieszki:

Czy taka rozmowa rzeczywiście miała miejsce? To nie ma znaczenia. W koncepcji dydaktycznej nauczania matematyki Stafana Turnaua powinno znaleźć się miejsce w klasie na takie rozmowy. Tomkowi przydarzył się błąd, który profesor Anna Krygowska nazwałaby "błogosławionym błędem" i który można - jak pokazano w podręczniku - wykorzystać dla pojęciowego wprowadzenia prawa łączności mnożenia.

Rozmowa miała dalszy ciąg: Tomek i Dyzio czynnościowo opisali łączność mnożenia:

Nasępnie pojawia się przykład poprawnego zastosowania pomysłu Tomka powiększania obu boków prostokąta w powiększaniu obwodu prostokąta.

Na końcu pojawiają się przykłady zastosowania prawa łączności.

5. Czy szkoła jest krainą marzeń?

W podręczniku matematyki dla klasy IV jedną z głównych ról odgrywał Dyzio. Kto był pierwowzorem tej postaci, skąd pomysł takiego właśnie imienia? Możemy snuć różne domysły. W zasobach Internetu imię Dyzio związane jest przede wszystkim z wierszem Juliana Tuwima "Dyzio Marzyciel", który marzył leżąc na łące o obłoczkach ze słodkiego kremu. Jolanta Paczkowska proponuje na jednej ze stron w Internecie, by wiersz ten, wraz z wierszem Joanny Kulmowej "Marzenia" wykorzystać na lekcji o szkole jako krainie marzeń. Przesłanie tej lekcji nie jest optymistyczne. Dzieci mają zapisać na tablicy, że

W SZKOLE:	W DOMU:
- nie ma marzeń	- są marzenia
- ani w tornistrze	- pod stołem
- ani pod ławą	- w jakieś szparze

Szkoła nie powinna kojarzyć się z marzeniami, które w tym miejscu rozwiewają się, uciekają.

Dyzio Stefana Turnaua ma odwagę marzyć nie tylko o obłoczkach ze słodkiego kremu. Ze swadą, dużą swobodą, inteligencją i zdrowym rozsądkiem mierzy się z wyzwaniami matematyki w szkole. Wraz ze Stefanem Turnauem marzymy o dobrym podręczniku matematyki w szkole. Marzenia towarzyszą nam w górach, w domu i w szkole. I za to dziękujemy Stefanowi.