Nastepny dokument:	Analiza funkcjonalna
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument:	Topologia

Rachunek prawdopodobieństwa z elementami statystyki matematycznej

CELE NAUCZANIA

1. Pokazanie co, jak i dlaczego matematyzuje się na gruncie w rachunku prawdopodobieństwa. Ukazanie osobliwych obiektów i środków matematyzacji, a także motywacji dla konstrukcji przestrzeni probabilistycznych jako modeli pewnych realnych sytuacji i towarzyszących im stosunków ilościowych i jakościowych. Ukazanie pojęć i metod stochastycznych (w tym także wnioskowań statystycznych) jako specyficznych matematycznych narzędzi opisu i badania rzeczywistości. Uznanie tego celu za podstawowy wynika z faktu, że kurs adresowany jest do studentów przygotowujących się do zawodu nauczyciela matematyki.
2. Prezentacja rachunku prawdopodobieństwa jako teorii dedukcyjnej (ukazywanie nie tyle gotowej teorii aksjomatycznej ile procesu aksjomatyzacji).
3. Kształtowanie intuicji stochastycznych, jako ważnego dziś aspektu matematycznej kultury, poprzez odpowiednią organizację procesu wnioskowania (zarówno w probabilistyce, jak i w statystyce matematycznej) w trakcie rozwiązywania zadań powstałych na tle specyficznych sytuacji problemowych.
4. Przygotowanie studentów do nauczania rachunku prawdopodobieństwa wraz z elementami statystyki matematycznej poprzez prezentację stochastyki nie jako gotowej teorii, ale poprzez jej tworzenie w trakcie rozwiązywania problemów.
5. Ukazanie autentycznego procesu stosowania matematyki (procesy decyzyjne w sytuacjach ryzyka i ich stochastyczne modele, weryfikacja hipotez, prawdopodobieństwo jako ocena ryzyka i decyzje wynikające z jego wielkości, oceny oczekiwanych zysków i strat w grach hazardowych, estymacja i jej wiarygodność, metody Monte Carlo).

Materiał obejmuje treści zaliczane do stochastyki rozumianej jako fuzja elementów rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, a także -- w pewnym zakresie -- elementów kombinatoryki i statystyki opisowej.

SEMESTR 6

TREŚCI NAUCZANIA

1. Przestrzeń probabilistyczna ziarnista (dyskretna) jako para $(\Omega ,p)$, gdzie $\Omega$ -- zbiór co najmniej dwuelementowy i co najwyżej przeliczalny, a $p$ -- funkcja ze zbioru $\Omega$ w zbiór liczb rzeczywistych, nieujemna i taka, że ${\sum _{\omega\in\Omega}p(\omega )=1}$. Doświadczenie losowe jako obiekt realnego świata. Przestrzeń probabilistyczna jako model doświadczenia losowego. Drzewo stochastyczne jako środek konstrukcji przestrzeni probabilistycznej. Drzewo a podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Graf stochastyczny jako środek konstrukcji przestrzeni probabilistycznej (graf jako środek matematyzacji). Produkt kartezjański przestrzeni probabilistycznych. Klasyczne rozkłady prawdopodobieństwa na zbiorach skończonych. Tablice liczb losowych. Losowanie próbki. Różne przyrządy losujące jako generatory rozkładów prawdopodobieństwa. Izomorfizm przestrzeni probabilistycznych. Symulacja stochastyczna oparta na tablicach liczb losowych. Gra losowa typu totolotka a stochastyczny model procesu podejmowania decyzji w sytuacjach ryzyka.
2. Zdarzenie jako pojęcie matematyczne. Algebra zdarzeń. Układ zupełny zdarzeń. Definicja prawdopodobieństwa zdarzenia w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej ${(P(A)=\sum _{\omega\in A}p(\omega ))}$. Własności prawdopodobieństwa. Zdarzenia praktycznie niemożliwe. Zdarzenia praktycznie pewne. Prawdopodobieństwo zdarzenia jako matematyczne narzędzie rozwiązywania konkretnych problemów. Prawdopodobieństwo jako ocena pewnego ryzyka. Prawdopodobieństwo jako narzędzie weryfikacji hipotez. Różne aspekty prawdopodobieństwa (klasyczny, miarowy, statystyczny, idea stochastycznego grafu przepływu). Prawdopodobieństwo klasyczne. Gra strategiczno-losowa jako model procesu decyzyjnego. Prawdopodobieństwo a sprawiedliwość gry losowej. Prawdopodobieństwo geometryczne. Aksjomatyzacja rachunku prawdopodobieństwa. Aksjomatyczna definicja przestrzeni probabilistycznej.
3. Typowe schematy losowe i przestrzenie probabilistyczne jako ich modele. Próba Bernoullie'ego. Schemat Bernoullie'ego. Oczekiwanie na pierwszy sukces. Schemat kolekcjonera. Schemat Ehrenfestów. Schematy urnowe a losowe rozmieszczenia. Graf stochastyczny danego schematu losowego.
4. Prawdopodobieństwo warunkowe. Prawdopodobieństwo całkowite. Prawdopodobieństwo warunkowe a posteriori. Relacje ,,zwiększa szanse'', ,,zmiejsza szanse'' i ich paradoksalne własności. Zdarzenia stochastycznie niezależne. Niezależność stochastyczna parami. Niezależność zespołowa.
5. Zmienna losowa w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej. Wygrana w grze jako zmienna losowa. Czas trwania doświadczenia losowego o losowej liczbie etapów jako zmienna losowa. Rozkład zmiennej losowej. Przestrzeń probabilistyczna generowana na prostej przez zmienną losową ziarnistą. Rozkład dwumianowy. Rozkład czasu oczekiwania na pierwszy sukces jako rozkład geometryczny. Wartość oczekiwana zmiennej losowej, czyli nadzieja matematyczna. Wartość oczekiwana a gry sprawiedliwe oraz prosperowanie gier hazardowych. Wariancja. Odchylenie standardowe. Moda. Gra jako model procesu podejmowania decyzji w sytuacjach ryzyka. Maksymalizacja średnich korzyści jako kryterium ustalania decyzji optymalnej.
6. Prawo wielkich liczb Bernoulliego. Prawo wielkich liczb a szacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia za pomocą jego częstości.
7. Populacja generalna. Cecha. Rozkład cechy w populacji. Wartość średnia cechy. Próbka czyli dane statystyczne. Gromadzenie i opracowywanie próbki. Elementy statystyki opisowej. Próbka losowa. Estymator. Średnia z próbki jako estymator. Metoda największej wiarygodności na przykładzie szacowania nieznanej liczby czarnych kul w urnie (liczby wadliwych sztuk w partii towaru). Proste przykłady weryfikacji hipotez. Konstrukcja regulaminu wiarygodnego oceniania rezultatów testowych sprawdzianów wiedzy. Rozstrzyganie środkami matematycznymi czy dany fakt jest rezultatem wiedzy, talentu, czy też przypadku (np. zgadywania).
8. Gra losowa jako środek matematycznej aktywizacji ucznia. Stochastyczne zadania jako ilustracja autentycznego procesu stosowania matematyki. Rysunek jako narzędzie matematyzacji i argumentacji w rachunku prawdopodobieństwa. Dane statystyczne jako inspiracja matematycznej działalności (refleksja a posteriori, wyjaśnianie na gruncie rachunku prawdopodobieństwa pewnych zaskakujących faktów ujawnionych przez dane statystyczne). Zadania stochastyczne -- niespodzianki a kształtowanie pojęć i intuicji stochastycznych. Przyrządy losujące jako generatory rozkładów prawdopodobieństwa i jako nośniki ogólnomatematycznych struktur. Nieprzechodnie kostki B. Efrona. Gry Penney'a i paradoksy z nimi związane. Informacje o niektórych koncepcjach nauczania rachunku prawdopodobieństwa (A. Engla, H. Freudenthala, L. Röade, T. Varga).

SEMESTR 6

LITERATURA

1. D. Bobrowski, Probabilistyka w zastosowaniach technicznych, WN-T, Warszawa 1986.
2. W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t. I, PWN, Warszawa 1987.
3. M. Fisz, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1958.
4. H. Kąkol, Podstawowe pojęcia statystyki i rachunku prawdopodobieństwa. Propozycja dydaktyczna, WN WSP, Kraków 1990.
5. H. Kąkol, Elementy statystyki opisowej w szkole podstawowej, Wyd. Dla Szkoły, Bielsko-Biała 1994.
6. L. T. Kubik, Rachunek prawdopodobieństwa. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matemtycznych, PWN, Warszawa 1986.
7. E. Łakoma, Historyczny rozwój pojęcia prawdopodobieństwa, CODN, Warszawa 1992.
8. A. Płocki, Prawdopodobieństwo wokół nas, Wyd. Dla Szkoły, Bielsko-Biała, 1977.
9. A. Płocki, Propedeutyka rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1992.
10. A. Płocki, Stochastyka 1. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna jako matematyka ,,in statu nascendi'', WN WSP, Kraków 1997.
11. A. Żak, T. Zakrzewski, Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i zdrowy rozsądek, Quadrivium, Wrocław 1994.

SEMESTR 7

TREŚCI NAUCZANIA

1. Aksjomatyczne ujęcie rachunku prawdopodobieństwa. Przestrzeń probabilistyczna jako system miary unormowanej. Prawdopodobieństwo jako miara unormowana. Zmienna losowa w dowolnej przestrzeni probabilistycznej jako funkcja mierzalna. Rozkład zmiennej losowej jako miara unormowana generowana na prostej przez funkcję mierzalną. Dystrybuanta zmiennej losowej. Zmienna losowa ciągła. Momenty zmiennej losowej ciągłej.
2. Twierdzenie Poissona. Rozkład Poissona. Przybliżenie Poissona. Rozkład prostokątny. Rozkład normalny Gaussa. Rozkład wykładniczy. Zbieżność stochastyczna. Prawo wielkich liczb Bernoullego. Prawo wielkich liczb Chinczyna. Twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a.
3. Zmienna losowa wielowymiarowa, czyli wektor losowy. Rozkład wektora losowego. Rozkłady brzegowe. Rozkłady warunkowe. Zmienne losowe niezależne. Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej. Funkcja charakterystyczna a momenty. Funkcja charakterystyczna a rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych.
4. Stochastyczny model procesu podejmowania decyzji w warunkach ryzyka. Macierz korzyści. Gra strategiczno-losowa jako model procesu decyzyjnego.
5. Symulacje oparte na tablicach liczb losowych. Metody Monte Carlo.
6. Łańcuch Markowa jako szczególny schemat losowy. Graf stochastyczny jako środek opisu i badania łańcucha Markowa. Wektor początkowy i macierz prawdopodobieństw przejść. Rachunek algebraiczny a rozkład stanów w chwili $n$. Grafy Engla. Rozwijanie grafu stochastycznego w czasie. Dwuwymiarowy graf stochastyczny. Rozkład stanów w chwili $n$. Jednorodny łańcuch Markowa. Stacjonarny łańcuch Markowa. Redukcje grafu stochastycznego. Algorytm pochłaniania dla grafu stochastycznego o niepustym brzegu. Czas błądzenia po grafie stochastycznym jako zmienna losowa. Algorytm średniego czasu błądzenia po grafie. Czekanie na serie sukcesów i porażek jako łańcuch Markowa. Gry Penney'a.
7. Populacja. Cecha. Próbka. Statystyka. Konstrukcja rozkładu statystyki za pomocą funkcji charakterystycznej. Estymator. Estymacja. Estymator zgodny. Estymator nieobciążony. Statystyka średnia z próbki. Rozkład statystyki średnia z próbki w przypadku cechy o rozkładzie normalnym a funkcja charakterystyczna. Wariancja z próbki. Metoda momentów. Metoda największej wiarygodności. Poziom ufności. Metoda przedziałów ufności. Poziom istotności. Test istotności. Obszar krytyczny. Pearsona test zgodności. Test niezależności.
8. Kształtowanie pojęć stochastycznych jako problem dydaktyki matematyki.
   Wnioskowania przez symetrie i analogie w stochastyce. Pojęcia i metody stochastyczne w nauczaniu matematyki a ilustracja procesu stosowania matematyki. Stochastyczne paradoksy i sofizmaty. Zadania stochastyczne jako nowy element kształcenia matematycznego. Znane z historii i współczesności gry losowe jako źródło idei i zadań stochastycznych. Przyrządy losujące jako generatory rozkładów prawdopodobieństwa. Kostka i moneta jako generatory klasycznych rozkładów prawdopodobieństwa na dowolnych skończonych zbiorach -- losowanie próbki.

SEMESTR 7

LITERATURA

1. D. Bobrowski, Probabilistyka w zastosowaniach technicznych, WN-T, Warszawa 1986.
2. W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t. I, PWN, Warszawa 1987.
3. M. Fisz, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1958.
4. M. Iosifescu, Skończone procesy Markowa i ich zastosowanie, PWN, Warszawa 1988.
5. L. T. Kubik, Rachunek prawdopodobieństwa. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, PWN, Warszawa 1986.
6. J. Ombach, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, Wydawnictwo IM AGH, 1997.
7. A. Płocki, Prawdopodobieństwo wokół nas. Rachunek prawdopodobieństwa w zadaniach i problemach, Wyd. ,,Dla Szkoły'', Bielsko-Biała 1997.
8. A. Płocki, Propedeutyka rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1992.
9. A. Płocki, Stochastyka 1. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna jako matematyka in statu nascendi, WN WSP, Kraków 1997.
10. A. Płocki, Stochastyka 2. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna -- Zarys dydaktyki, WN WSP, Kraków 1997.
11. J. Stojanov (i in.), Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa 1992.

Nastepny dokument:	Analiza funkcjonalna
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument:	Topologia