Nastepny dokument:	Zastosowania matematyki
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument:	Analiza funkcjonalna

Rozwój pojęć matematycznych

SEMESTR 10

TREŚCI NAUCZANIA

1. Wyróżnienie czterech podstawowych etapów rozwoju teorii matematycznych: aksjomatyzacja, formalizacja, ujęcia strukturalne i kategoryjne (ogólne omówienie).
2. Aksjomatyzacja: jej źródła i istota. Aksjomatyzacja geometrii, arytmetyki, teorii mnogości. Uściślenie pojęć analizy matematycznej.
3. Formalizacja: jej źródła i istota. Podstawowe pojęcia metamatematyki. Paradoksy logiczne i semantyczne. Metamatematyczne własności poznanych układów aksjomatów.
4. Strukturalna budowa matematyki. Struktury: algebraiczne, topologiczne, porządkowe, mieszane.
5. Informacje o kategoryjnym ujmowaniu matematyki.
6. Matematyka a informatyka -- przykłady powiązań (np. formalizm a programowanie, algorytm a funkcja, automatyczne dowodzenie twierdzeń).
   Zastosowanie komputerów w matematyce: zagadnienie czterech barw, wielkie twierdzenie Fermata.
7. Informacja o historii matematyki polskiej i jej stanie obecnym. Przegląd polskich czasopism matematycznych.

UWAGI O REALIZACJI PROGRAMU

Wykład powinien być interesującym opowiadaniem o rozwoju matematyki mającym na celu w pierwszym rzędzie wyrobienie u słuchacza unifikującego spojrzenia na fakty poznane w trakcie studiowania poszczególnych przedmiotów matematycznych i fizycznych, a także dostarczenie mu pewnych wiadomości z zakresu historii matematyki.

W punkcie 1 programu podana jest treść wykładu wprowadzającego, sygnalizującego myśl przewodnią dalszych wykładów.

Głównym celem punktu 2 programu jest historyczne naświetlenie potrzeby zaksjomatyzowania podstawowych działów matematyki: teorii mnogości, arytmetyki i geometrii, przypomnienie różnych aksjomatyk tych działów, znanych z wcześniejszych wykładów kursowych oraz omówienie kłopotów związanych z aksjomatyzacją. Należy podać ogólne powody, z których wyniknęła potrzeba aksjomatyzacji, a następnie proces ten zilustrować w omawianych działach matematyki. Tu znalazło by się miejsce na omówienie kłopotów (historycznych) związanych z aksjomatem Euklidesa, z aksjomatem wyboru, z hipotezą continuum itp. To samo odnosi się do przedstawienia procesu uściślenia pojęć analizy.

Punkt 3 programu poświęcony jest omówieniu następnego etapu rozwoju teorii aksjomatycznych. Należy w nim wskazać powody historyczne, dla których trzeba było przy badaniu podstaw matematyki przejść do teorii sformalizowanych. Następnie byłyby omówione podstawowe pojęcia metamatematyki, takie jak: reguły wnioskowania, dowód, teoria sformalizowana, model, niesprzeczność, niezależność, zupełność i kategoryczność układu aksjomatów i zastosowanie tych pojęć do poznanych aksjomatyk (wyniki Gödla).

Punkt 4 programu wyjaśniałby źródła historyczne strukturalnego ujmowania matematyki (konieczność syntetyzacji), dawałby przegląd poznanych w innych wykładach kursowych struktur algebraicznych, topologicznych i porządkowych. Ciąg dalszy wykładu wskazywałby na konieczność rozważenia w matematyce także struktur mieszanych. Przy omawianiu aksjomatyk wszystkich tych struktur należy uwzględnić ich własności metamatematyczne poznane w punkcie 3. W całym omawianym punkcie należy uwypuklić powody strukturalnego ujmowania matematyki, a także wskazać kierunki uogólnienia tak podstawowych pojęć jak granica i ciągłość z uwzględnieniem uogólniania własności tych pojęć znanych z analizy.

Punkt 5 programu informowałby o pojęciu kategorii i funktora i ich roli w syntetyzującym ujmowaniu matematyki w nawiązaniu do programu z Erlangen Felixa Kleina.

Na ćwiczeniach słuchacze mają przygotować krótkie referaty poświecone historii matematyki lub syntetyzującym poglądom na nią a przygotowanym z wybranych przez nich pozycji literatury.

LITERATURA

1. A. D. Aczel, Wielkie twierdzenie Fermata, Prószyński i S-ka, Warszawa 1998.
2. P. Bibenboim, Wielkie twierdzenie Fermata dla laików, WNT, Warszawa 2001.
3. N. Bourbaki, Elementy historii matematyki, PWN, Warszawa 1980.
4. C. Boyer, Historia rachunku różniczkowego i całkowego i rozwój jego pojęć, PWN, Warszawa 1964.
5. J. Daczyński, Filozofia matematyki w ujęciu historycznym, OBI, Kraków 2000.
6. J. Dianni, A. Wachułka, Tysiąc lat polskiej myśli matematycznej, PZWS, Warszawa 1963.
7. Filozofia matematyki, (Antologia tekstów pod red. J. Miśka), skrypt UJ, Kraków 1986.
8. Filozofia matematyki, (Antologia tekstów klasycznych pod red. R. Murawskiego), WN UAM, Poznań 1994.
9. D. Gierulanka, Zagadnienie swoistości poznania matematycznego, PWN, Warszawa 1962.
10. E. Grodziński, Paradoksy semantyczne, Ossolineum, Wrocław 1983.
11. J. S. Hadaward, Psychologia odkryć matematycznych, Omega 1964.
12. T. Iwiński, Ponad pół wieku matematyki polskiej, PWN, Warszawa 1975.
13. R. Kałuża, Stefan Banach, Wyd. GZ, Warszawa 1992.
14. M. Kordos, Wykłady z historii matematyki, WSiP, Warszawa 1994.
15. S. Kulczycki, Geometria nieeuklidesowa, PWN, Warszawa 1956.
16. K. Kuratowski, Notatki do autobiografii, Czytelnik, Warszawa 1981.
17. K. Kuratowski, Pół wieku matematyki polskiej, Wiedza Powszechna, Warszawa 1973.
18. R. Ligonnière, Prehistoria i historia komputerów, Ossolineum, 1992.
19. E. Marczewski, Rozwój matematyki w Polsce, 1948.
20. J. Mioduszewski, Ciągłość, WSiP, Warszawa 1996.
21. R. Murawski, Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN, Warszawa 1995.
22. R. Murawski, ,,Humanizacja'' matematyki, czyli o nowych prądach w filozofii matematyki, Studia Filozoficzne 8 (249), 67-79, 1986.
23. E. Nagel, I. R. Newman, Twierdzenie Gödla, PWN, Warszawa 1966.
24. Z. Opial, Dzieje nauk matematycznych w Polsce, W: Studia i materiały z dziejów nauki polskiej, seria B, zeszyt 10, 1966.
25. Z. Pawlak, Automatyczne dowodzenie twierdzeń, PZWS, Warszawa 1965.
26. Z. Pawlikowska-Brożek, Matematyka w: Zarys dziejów nauk przyrodniczych w Polsce, Wiedza Powszechna, Warszawa 1983.
27. B. Russel, Mój rozwój filozoficzny, PWN, Warszawa 1971.
28. Z. Semadeni, A. Wiweger, Wstęp do teorii kategorii i funktorów, PWN, Warszawa 1978.
29. D. J. Struik, Krótki zarys historii matematyki, PWN, Warszawa 1960.
30. W. Więsław, Matematyka i jej historia, Wyd. Nowik, Opole 1997.

Wybrane artykuły o treści historycznej, przeglądowej, prognostycznej i syntetyzującej w Wiadomościach Matematycznych i Dydaktyce Matematyki.

Nastepny dokument:	Zastosowania matematyki
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument:	Analiza funkcjonalna