Przedstawienie teoretycznych podstaw głównych typów geometrii:
euklidesowej, Łobaczewskiego i rzutowej, jako teorii
aksjomatycznych.
- Ogólne uwagi o teorii aksjomatycznej: niesprzeczność,
zupełność, kategoryczność, niezależność aksjomatów. Informacja o
aksjomatyzacji geometrii euklidesowej, rys historyczny i dzieje
aksjomatu Euklidesa.
- Podstawowe aksjomatyki geometrii euklidesowej.
Aksjomatyczne podstawy geometrii szkolnej.
- Informacje o geometriach nieeuklidesowych.
Powstanie geometrii nieeuklidesowych, tezy równoważne
aksjomatowi Euklidesa.
Modele geometrii Bolyaia-Łobaczewskiego: Beltramiego-Kleina,
Poincare'go (w kole otwartym, otwartej półpłaszczyźnie i na
półsferze); wzajemne związki. Dowodzenie twierdzeń w oparciu o
modele, w szczególności tez równoważnych z zaprzeczeniem
aksjomatu Euklidesa.
- Geometria rzutowa; aksjomatyka płaszczyzny i
przestrzeni.
Modele geometrii rzutowej: afiniczny, centralny, na półsferze i
analityczny.
Podstawowe twierdzenia geometrii rzutowej: twierdzenie
Desarguesa, twierdzenie Pappusa; zastosowanie tych twierdzeń do
konstrukcji geometrycznych.
Zasada dualności w geometrii rzutowej.
Czworokąt zupełny, czwórka harmoniczna.
Współrzędne jednorodne, przekształcenia rzutowe.
Krzywe stożkowe w ujęciu rzutowym, twierdzenie Pascala.
UWAGI O REALIZACJI PROGRAMU |
- Program nie powinien być interpretowany w postaci wykładu samej
abstrakcyjnej teorii. Należy operować także przykładami i
przedstawieniem na wpół intuicyjnym. Wynikiem nauczania powinno być
zrozumienie istoty pojęć, problemów i metod, nie zaś samo opanowanie
teorii w sformalizowanej postaci.
- Prowadzący zajęcia powinni robić sporo dygresji historycznych i
dobierać przykłady także z materiału szkolnego tak, by po odpowiednim
zaadoptowaniu można je było przedstawić uczniom szkoły średniej.
- Przed wykładowcą stoi trudne zadanie zachęcenia studentów do geometrii,
pokazania, że geometria może być interesująca, by mogli oni przekazać w
przyszłości uczniom taki stosunek do geometrii jaki ukształtowali sobie
na studiach.
- K. Borsuk, W. Szmielew, Podstawy geometrii, PWN, Warszawa
1972.
- R. Doman, Wykłady z geometrii elementarnej ,
Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2001.,
- S. Fudali, Geometria, Uniwersytet Szczeciński,
Szczecin 1989.
- M. Kordos, O różnych geometriach, Wydawnictwo "Alfa",
Warszawa 1987.
Instytut Matematyki Akademii
Pedagogicznej w Krakowie,
1.06.2004