Celem kursu jest przyswojenie przez studentów
elementarnych działów analizy matematycznej tzn. rachunku
różniczkowego i całkowego funkcji zmiennych rzeczywistych
(jednej i wielu zmiennych). Wybór materiału pozwala
uwypuklić związki z innymi działami matematyki jak: geometria,
topologia, algebra, rachunek prawdopodobieństwa.
- Ciągi i szeregi funkcyjne - uzupełnienie.
Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych. Kryteria
zbieżności jednostajnej
szeregów funkcyjnych.
Ciągłość i różniczkowanie granicy ciągu funkcyjnego i sumy szeregu
funkcyjnego.
- Szeregi potęgowe - uzupełnienie.
Pojęcie funkcji analitycznej zmiennej rzeczywistej.
Rozwijanie w szereg Taylora podstawowych funkcji elementarnych.
- Szeregi Fouriera.
Zbieżność punktowa i jednostajna szeregów Fouriera. Kryteria zbieżności.
Przykłady rozwinięć.
Twierdzenie Weierstrassa dla odcinka.
- Odwzorowania z
w 
(granica, ciągłość).
- Rachunek różniczkowy (odwzorowania z w ).
Pochodne cząstkowe, kierunkowe i różniczkowalność funkcji.
Pochodna jej sens geometryczny.
Macierz Jacobiego, jakobian i gradient.
Działania na odwzorowaniach a pochodne.
Pochodne wyższych rzędów. Twierdzenie o wartości średniej.
Wzór Taylora. Zastosowania do badania ekstremów lokalnych.
Twierdzenia o odwzorowaniu uwikłanym, o lokalnej odwracalności odwzorowania
klasy
.
Ekstrema warunkowe lokalne.
- Elementy geometrii różniczkowej.
Równania naturalne krzywych.
Prosta styczna i normalna do krzywej. Krzywizna.
- Całki wielokrotne - powtórzenie i uzupełnienie.
Całka względem miary. Warunek konieczny i dostateczny całkowalności w sensie
Riemanna.
Twierdzenie Fubiniego.
- Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Całki krzywoliniowe pierwszego i
drugiego rodzaju. Warunki
niezależności całki od drogi całkowania. Wzór Greena. Orientacja powierzchni.
Całki powierzchniowe
pierwszego i drugiego rodzaju. Wzór Gaussa-Ostrogradzkiego. Elementy pola
wektorowego.
Formy różniczkowe i twierdzenie Stokesa.
| UWAGI O REALIZACJI PROGRAMU |
Wykład nie powinien
ograniczać się do podawania treści matematycznych wyłącznie w ich
abstrakcyjnej postaci, lecz jak najszerzej uwypuklać
źródła tych treści, w szczególności winien szeroko
nawiązywać do treści przyrodniczych, praktycznych oraz do matematyki
szkolnej.
Kolejność przerabianego materiału, jak i sposób jego ujęcia, pozostawia się
wykładającemu.
Musi on pamiętać o tym, że we właściwym czasie
powinien opracować wiadomości nieodzowne lub użyteczne dla innych
przedmiotów studiów (geometria, topologia, rachunek prawdopodobieństwa).
- J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy
matematycznej, WN-T, Warszawa 1994.
- G. N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwo
Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego, Gliwice 1999.
- A. Birkholc, Analiza matematyczna, funkcje wielu zmiennych, PWN,
Warszawa 1986.
- B. P. Demidowicz, Sbornik zadacz i uprażnienij po matemematiczeskomu
analizu, Izdat. Nauka, Moskwa 1977.
- G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I,II,III, PWN,
Warszawa 1985.
- W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1978.
- W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach,
cz. I,II, PWN, Warszawa 1994.
- F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN,
Warszawa 1976.
- W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN,
Warszawa 1982.
- R. Sikorski, Rachunek różniczkowy i całkowy (funkcji wielu
zmiennych), PWN, Warszawa 1967.
- S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funcji rzeczywistych, PWN,
Warszawa 1976.
- K. Maurin, Analiza, cz. I,II, PWN, Warszawa 1991.
- L. Schwartz, Kurs analizy matematycznej, t.I,II, PWN, Warszawa 1979.
Instytut Matematyki Akademii
Pedagogicznej w Krakowie,
1.10.2005
