Nastepny dokument:	Geometria elementarna
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE Z MATEMATYKI
Poprzedni dokument:	Wstęp do logiki i teorii mnogości

Analiza matematyczna

CELE NAUCZANIA

Celem kursu jest gruntowne przyswojenie przez studentów elementarnych działów analizy matematycznej tzn. rachunku różniczkowego i całkowego funkcji zmiennych rzeczywistych (jednej i wielu zmiennych). Wybór materiału pozwala uwypuklić związki z innymi działami matematyki jak: geometria, topologia, algebra, rachunek prawdopodobieństwa.

SEMESTR 1

TREŚCI NAUCZANIA

1. Liczby rzeczywiste. Aksjomatyka liczb rzeczywistych. Kresy zbiorów.
2. Odwzorowania. Składanie, odwracanie, obrazy i przeciwobrazy zbiorów. Podstawowe funkcje elementarne w dziedzinie rzeczywistej, ciągi i podciągi.
3. Teoria granic. Granica ciągu liczbowego. Granica dolna i górna ciągu liczbowego i funkcji rzeczywistej w punkcie. Przestrzenie metryczne, otoczenia punktów, zbiory otwarte i domknięte, punkty skupienia. Zwartość, spójność i zupełność podzbiorów przestrzeni euklidesowej.
4. Odwzorowania ciągłe i ich własności. Podstawowe funkcje elementarne w dziedzinie rzeczywistej, ich ciągłość i granice z nimi związane. Własność Darboux, ciągłość jednostajna.

SEMESTR 2

TREŚCI NAUCZANIA

1. Rachunek różniczkowy funkcji zmiennej rzeczywistej. Interpretacja fizyczna i geometryczna pochodnej. Działania na funkcjach a pochodna. Twierdzenia o wartości średniej. Reguła de l'Hospitala. Wzór Taylora i jego zastosowania (ekstrema lokalne, wypukłość). Asymptoty, badanie przebiegu zmienności funkcji.

2. Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.
3. Rachunek całkowy funkcji zmiennej rzeczywistej. Całka nieoznaczona. Całkowanie elementarne. Całka oznaczona. Własności całki oznaczonej. Warunki konieczne i wystarczające całkowalności. Zastosowanie geometryczne i fizyczne całki. Całki niewłaściwe. Kryterium całkowe zbieżności szeregu.

SEMESTR 3

TREŚCI NAUCZANIA

1. Ciągi i szeregi funkcyjne. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych. Kryteria zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych. Ciągłość i różniczkowanie granicy ciągu funkcyjnego i sumy szeregu funkcyjnego.
2. Szeregi potęgowe. Szereg Taylora i pojęcie funkcji analitycznej zmiennej rzeczywistej. Rozwijanie w szereg Taylora podstawowych funkcji elementarnych.
3. Odwzorowania z $\mathbb{R}^k$ w $\mathbb{R}^n$ (granica, ciągłość).

SEMESTR 4

TREŚCI NAUCZANIA

1. Rachunek różniczkowy (odwzorowania z $\mathbb{R}^k$ w $\mathbb{R}^n$). Pochodne cząstkowe, kierunkowe i różniczkowalność funkcji. Pochodna, jej sens geometryczny. Macierz Jacobiego, jakobian i gradient. Działania na odwzorowaniach a pochodne. Pochodne wyższych rzędów. Twierdzenie o wartości średniej. Wzór Taylora. Zastosowania do badania ekstremów lokalnych. Twierdzenia o odwzorowaniu uwikłanym, o lokalnej odwracalności odwzorowania klasy $C^1$. Ekstrema warunkowe lokalne.

SEMESTR 5

TREŚCI NAUCZANIA

1. Elementy geometrii różniczkowej. Równania naturalne krzywych. Prosta styczna i normalna do krzywej. Krzywizna.
2. Całki wielokrotne. Całka Riemanna w $\mathbb{R}^n$. Całki iterowane. Całki w obszarze normalnym i regularnym. Twierdzenie o zamianie zmiennych. Zastosowania geometryczne, obliczanie objętości i pola płata powierzchniowego. Zastosowania do fizyki.
3. Teoria miary. Ciała, "sigma"-ciała, miara, zbiory borelowskie. Miara zewnętrzna. Twierdzenie Caratheodory'ego. Produktowanie miar. Miara Lebesgue'a w $\mathbb{R}$ i w $\mathbb{R}^k$ . Własności miary Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Informacje o mierze Jordana.
4. Całka względem miary. Warunek konieczny i dostateczny całkowalności w sensie Riemanna. Twierdzenie Fubiniego; twierdzenie o podstawianiu (dowód dla jednej zmiennej). Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki. Całka Riemanna, a całka Lebesguea.

SEMESTR 6

TREŚCI NAUCZANIA

1. Całki krzywoliniowe. Całki krzywoliniowe pierwszego i drugiego rodzaju. Warunki niezależności całki od drogi całkowania. Wzór Greena.
2. Pojęcie równania różniczkowego oraz jego rozwiązania, intrepretacja geometryczna. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań równania różniczkowego. Przykłady równań całkowalnych. Układy równań różniczkowych liniowych.

UWAGI O REALIZACJI PROGRAMU

Wykład nie powinien ograniczać się do podawania treści matematycznych wyłącznie w ich abstrakcyjnej postaci, lecz jak najszerzej uwypuklać źródła tych treści, w szczególności winien szeroko nawiązywać do treści przyrodniczych, praktycznych oraz do matematyki szkolnej. Kolejność przerabianego materiału, jak i sposób jego ujęcia, pozostawia się wykładającemu. Musi on pamiętać o tym, że we właściwym czasie powinien opracować wiadomości nieodzowne lub użyteczne dla innych przedmiotów studiów (geometria, topologia, rachunek prawdopodobieństwa).

LITERATURA PODSTAWOWA

1. J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WN-T, Warszawa 1994.
2. G. N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwo Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego, Gliwice 1999.
3. A. Birkholc, Analiza matematyczna, funkcje wielu zmiennych, PWN, Warszawa 1986.
4. B. P. Demidowicz, Sbornik zadacz i uprażnienij po matemematiczeskomu analizu, Izdat. Nauka, Moskwa 1977.
5. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I,II,III, PWN, Warszawa 1985.
6. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1978.
7. T. Krasiński, Analiza matematyczna (funkcje jednej zmiennej), WUŁ, Łódź 2003.
8. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I,II, PWN, Warszawa 1994.
9. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1976.
10. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1982.
11. R. Sikorski, Rachunek różniczkowy i całkowy (funkcji wielu zmiennych), PWN, Warszawa 1967.
12. E. Wachnicki, Z. Powązka, Problemy z analizy matematycznej w zadanich, Część I, Wydano nakładem Instytutu Matematyki Akademii Pedagogicznej w Krakowie, 2002.

LITERATURA UZUPEŁNIAJĄCA

1. S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1976.
2. K. Maurin, Analiza, cz. I,II, PWN, Warszawa 1991.
3. L. Schwartz, Kurs analizy matematycznej, t.I,II, PWN, Warszawa 1979.

Nastepny dokument:	Geometria elementarna
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE Z MATEMATYKI
Poprzedni dokument:	Wstęp do logiki i teorii mnogości