Celem tego przedmiotu jest ogólniejsze i łączne spojrzenie na
analizę matematyczną, algebrę liniową i topologię oraz pokazanie,
jak przy pomocy ogólnych metod można rozwiązywać różne zagadnienia
szczegółowe.
- Przestrzenie Banacha. Przestrzenie unormowane,
własności normy, zupełność, uzupełnianie przestrzeni unormowanych,
przykłady przestrzeni unormowanych ciągowych i funkcyjnych
(nierówności Höldera i Minkowskiego), skończenie wymiarowe
przestrzenie unormowane, zwartość (w przypadku skończenie i
nieskończenie wymiarowym), szeregi w przestrzeniach
unormowanych, izometrie.
- Przestrzenie Hilberta. Przestrzenie unitarne,
nierówność Schwarza, związki iloczynu skalarnego z normą,
uzupełnianie przestrzeni unitarnych, ortogonalność, twierdzenie
Pitagorasa, dopełnienie ortogonalne (twierdzenie o rzucie
ortogonalnym), układy ortonormalne
(ortogonalizacja i ortonormalizacja układu wektorów), układy
ortonormalne zupełne, szeregi Fouriera (nierówność Bessela,
tożsamość Parsevala, układ trygonometryczny, szereg Fouriera
względem układu trygonometrycznego, układ Rademachera),
twierdzenie Riesza-Fishera.
- Operatory liniowe ciągłe.
Ograniczoność i ciągłość, norma operatora, przestrzeń dualna,
twierdzenie Riesza o postaci funkcjonałów liniowych w
przestrzeni Hilberta, twierdzenie Banacha o operatorze
otwartym, twierdzenie o operatorze odwrotnym, twierdzenie o
domkniętym wykresie, twierdzenie Banacha-Steinhausa, twierdzenie
Hahna-Banacha, operatory sprzężone.
- Wiadomości uzupełniające. Elementy teorii spektralnej, przestrzenie
liniowo-topologiczne, twierdzenia o punkcie stałym.
- J. Chmieliński, Analiza funkcjonalna. Notatki do
wykładu, WN AP, Kraków 1999.
- W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej. Biblioteka
Matematyczna t.36, PWN, Warszawa 1970.
- J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa, 1989.
- W. Rudin, Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa 2001.
Instytut Matematyki Akademii
Pedagogicznej w Krakowie,
28.09.2006
