Nastepny dokument:	Geometria elementarna
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE Z MATEMATYKI
Poprzedni dokument:	Wstęp do logiki i teorii mnogości

Analiza matematyczna

CELE NAUCZANIA

Celem kursu jest przyswojenie przez studentów elementarnych działów analizy matematycznej tzn. rachunku różniczkowego i całkowego funkcji zmiennych rzeczywistych (jednej i wielu zmiennych). Wybór materiału pozwala uwypuklić związki z innymi działami matematyki jak: geometria, topologia, algebra, rachunek prawdopodobieństwa.

ROK I

TREŚCI NAUCZANIA

1. Liczby rzeczywiste.
2. Podstawowe funkcje elementarne w dziedzinie rzeczywistej.
3. Teoria granic. Ciągi liczbowe i ich granice. Granica funkcji rzeczywistej w punkcie. Zwartość, spójność i zupełność podzbiorów przestrzeni euklidesowej.
4. Funkcje ciągłe i ich własności. Podstawowe funkcje elementarne w dziedzinie rzeczywistej, ich ciągłość i granice z nimi związane.
5. Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej, interpretacja fizyczna i geometryczna pochodnej, zastosowania pochodnej. Działania na pochodnych. Twierdzenia o wartości średniej. Reguła de l'Hospitala. Wzór Taylora i jego zastosowania (ekstrema lokalne, wypukłość). Asymptoty, badanie przebiegu zmienności funkcji.
6. Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności szeregów liczbowych. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.
7. Całka nieoznaczona - metody całkowania. Całka oznaczona. Zastosowanie geometryczne całki. Całka niewłaściwa. Kryterium całkowe zbieżności szeregu.
8. Ciągi i szeregi funkcyjne. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych. Kryteria zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych. Ciągłość i różniczkowanie granicy ciągu funkcyjnego i sumy szeregu funkcyjnego.
9. Szeregi potęgowe. Szereg Taylora. Rozwijanie w szereg Taylora podstawowych funkcji elementarnych.

ROK II

TREŚCI NAUCZANIA

1. Odwzorowania wielu zmiennych (granice, ciągłość).
2. Pochodna funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe, kierunkowe i różniczkowalność funkcji. Pochodna jej sens geometryczny. Działania na odwzorowaniach a pochodne.
3. Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora. Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Twierdzenia o funkcji odwrotnej i uwikłanej.
4. Elementy geometrii różniczkowej. Równania naturalne krzywych. Prosta styczna i normalna do krzywej. Krzywizna.

ROK III

TREŚCI NAUCZANIA

1. Całki wielokrotne. Całka Riemanna w $\mbox{$\mathbb{R}$}^n$. Całki iterowane. Całki w obszarze normalnym i regularnym. Twierdzenie o zamianie zmiennych. Zastosowania geometryczne, obliczanie objętości i pola płata powierzchniowego. Zastosowania do fizyki.
2. Teoria miary. Ciała, "sigma"-ciała, miara, zbiory borelowskie. Miara zewnętrzna. Twierdzenie Caratheodory'ego. Produktowanie miar. Miara Lebesgue'a w $\mbox{$\mathbb{R}$}$ i w $\mbox{$\mathbb{R}$}^k$. Własności miary Lebesgue'a. Informacje o mierze Jordana. Funkcje mierzalne i całka Lebesgue'a. Twierdzenie o zamianie zmiennych. Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki. Całka Riemanna, a całka Lebesgue'a.
3. Pojęcie równania różniczkowego oraz jego rozwiązania, interpretacja geometryczna. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań równania różniczkowego. Przykłady równań całkowalnych. Układy równań różniczkowych liniowych.

LITERATURA PODSTAWOWA

1. J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WN-T, Warszawa 1994.
2. G. N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwo Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego, Gliwice 1999.
3. A. Birkholc, Analiza matematyczna, funkcje wielu zmiennych, PWN, Warszawa 1986.
4. B. P. Demidowicz, Sbornik zadacz i uprażnienij po matemematiczeskomu analizu, Izdat. Nauka, Moskwa 1977.
5. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I,II,III, PWN, Warszawa 1985.
6. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1978.
7. T. Krasiński, Analiza matematyczna (funkcje jednej zmiennej), WUŁ, Łódź 2003.
8. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I,II, PWN, Warszawa 1994.
9. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1976.
10. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1982.
11. R. Sikorski, Rachunek różniczkowy i całkowy (funkcji wielu zmiennych), PWN, Warszawa 1967.
12. E. Wachnicki, Z. Powązka, Problemy z analizy matematycznej w zadanich, Część I, Wydano nakładem Instytutu Matematyki Akademii Pedagogicznej w Krakowie, 2002.

LITERATURA UZUPEŁNIAJĄCA

1. S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1976.
2. K. Maurin, Analiza, cz. I,II, PWN, Warszawa 1991.
3. L. Schwartz, Kurs analizy matematycznej, t.I,II, PWN, Warszawa 1979.

Nastepny dokument:	Geometria elementarna
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE Z MATEMATYKI
Poprzedni dokument:	Wstęp do logiki i teorii mnogości