Nastepny dokument:	Wstęp do topologii
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE Z MATEMATYKI
Poprzedni dokument:	Geometria elementarna

Algebra z geometrią

CELE NAUCZANIA

Celem nauczania jest zaznajomienie studenta z podstawami algebry i algebry liniowej i nauczenie go korzystania z nich oraz z algebraizacją geometrii euklidesowej i metodami analitycznymi w rozwiązywaniu problemów geometrycznych.

ROK I

TREŚCI NAUCZANIA

Grupy i ich homomorfizmy, podgrupy, podgrupy normalne i grupy ilorazowe. Grupy przekształceń, grupy permutacji. Grupy przekształceń płaszczyzny, w szczególności grupa izometrii i podobieństw. Twierdzenie Lagrange'a i Cayley'a. Grupy abelowe.
Pierścienie i ich homomorfizmy, podpierścienie, ideały, ideały pierwsze i maksymalne, pierścień ilorazowy. Pierścienie wielomianów. Ciała liczbowe (liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych), ciała skończone. Elementy teorii liczb (małe twierdzenie Fermata) -przykłady zastosowań. Przestrzenie liniowe, podprzestrzenie. Liniowa niezależność układu wektorów, baza i wymiar przestrzeni (podprzestrzeni), współrzędne wektora.
Przekształcenia liniowe, macierze, macierz przekształcenia liniowego. Przykłady algebr liniowych.
Wyznaczniki. Układy równań liniowych.
Wartości i wektory własne endomorfizmu przestrzeni liniowej. Przekształcenia dwuliniowe. Formy kwadratowe i ich macierze.
Przestrzeń liniowa euklidesowa, baza ortonormalna.

ROK II

TREŚCI NAUCZANIA

Przestrzenie afiniczne, ich podstawowe własności, podprzestrzenie. Układy bazowe przestrzeni afinicznej, współrzędne punktów, zbiory wypukłe, sympleksy. Objętości sympleksów i równoległościanów.
Przekształcenia afiniczne. Przestrzeń euklidesowa afiniczna, bazy prostopadłe, prostokątne układy współrzędnych w $E^{3}$.
Równania płaszczyzny: wektorowe, parametryczne, zwyczajne. Wzajemne położenie płaszczyzn. Kąt miedzy płaszczyznami, pęk płaszczyzn.
Równania prostej: wektorowe, parametryczne, krawędziowe.
Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn, kąt między prostymi, kąt między prostą a płaszczyzną, odległość prostych skośnych.
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego.
Elipsa, hiperbola, parabola - podstawowe własności afiniczne i metryczne krzywych stożkowych; środek, średnice, bieguny i biegunowe, asymptoty, ogniska i kierownice. Czwórka harmoniczna punktów.
Stożki, walce, hiperboloidy, paraboloidy, elipsoidy; podstawowe własności afiniczne i metryczne tych powierzchni. Płaskie przekroje powierzchni stożkowych. Powierzchnie prostokreślne, powierzchnie obrotowe.
Przekształcenia ortogonalne, izometrie i podobieństwa, ich reprezentacje analityczne.

LITERATURA

1. J. Gancarzewicz, Algebra liniowa z elementami geometrii, Wydawnictwo UJ, Kraków 1999.
2. B. Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004.
3. F.Leja, Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1969.
4. A. Łomnicki, M. Magdoń, M. Żurek-Etgens, Podstawy algebry liniowej w zadaniach, WN WSP, Kraków 2000.
5. M. Moszyńska, Geometria z algebrą liniową, PWN, Warszawa 1989.
6. S. Przybyło, A. Szlachtowski, Algebra i geometria analityczna w zadaniach, WN-T, Warszawa 1993.
7. J. Rutkowski, Algebra abstrrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa 2000.

Nastepny dokument:	Wstęp do topologii
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE Z MATEMATYKI
Poprzedni dokument:	Geometria elementarna