Geometria 1

TREŚCI NAUCZANIA

1. Przestrzeń euklidesowa i podstawowe pojęcia geometrii euklidesowej. Figury płaskie i przestrzenne i ich własności. Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie i w przestrzeni, wzajemne położenie prostej i płaszczyzny. Równoległość dwóch prostych, prostej i płaszczyzny, dwóch płaszczyzn. Naturalne uporządkowanie prostej; odcinek, półprosta, półpłaszczyna, półprzestrzeń. Figury wypukłe. Geometryczna odległość punktów; kula, sfera, figura ograniczona, nieograniczona, figura otwarta, figura domknięta, brzeg figury. Wzajemne położenie prostej i okręgu: sieczna i styczna. Twierdzenie o odcinkach stycznych. Wzajemne położenie dwóch okręgów. Prostopadłość dwóch prostych, prostej i płaszczyzny, dwóch płaszczyzn. Odległość figur geometrycznych. Łamana, łamana zwyczajna, łamana zamknięta, wielokąt. Kąt płaski, kąt dwuścienny, kąt wielościenny. Kąty w okręgu. Kąt wewnętrzny i kąt zewnętrzny wielokąta. Twierdzenie sinusów. Twierdzenie o kącie dopisanym. Relacja nierówności w zbiorze odcinków i kątów. Dodawanie odcinków i kątów. Trójkąt. Twierdzenia o: symetralnych, dwusiecznych, wysokościach i środkowych. Prosta Eulera, okrąg dziewięciu punktów. Czworokąt. Czworokąt wypukły i czworokąt wklęsły. Twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg, twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu. Twierdzenie Ptolemeusza. Wielokąty foremne. Wielościany. Twierdzenie Eulera o wielościanach wypukłych. Wielościany foremne. Bryły i powierzchnie obrotowe. Powierzchnie prostokreślne.
2. Przekształcenia geometryczne. Izometria płaszczyzny i przestrzeni euklidesowej; podstawowe własności i niezmienniki izometrii. Symetrie: osiowa (na płaszczyźnie i w przestrzeni), płaszczyznowa, środkowa. Niezmienniki symetrii. Generowanie izometrii symetriami. Oś symetrii, środek symetrii, płaszczyzna symetrii figury geometrycznej. Wektor zaczepiony i wektor swobodny. Translacja. Kąt skierowany i kąt skierowany swobodny. Orientacja kąta i płaszczyzny. Obrót wokół punktu (na płaszczyźnie i w przestrzeni). Symetria osiowa z poślizgiem, symetria płaszczyznowa z poślizgiem, obrót z prostopadłym odbiciem, ruch śrubowy. Cechy przystawania figur (w szczególności cechy przystawania dwóch trójkątów). Izometrie parzyste i izometrie nieparzyste. Izometrie i ich klasyfikacja ze względu na przestrzeń punktów stałych oraz liczbę złożeń symetrii hiperpłaszczyznowych. Podstawowe typy izometrii. Ruchy jako przekształcenia zachowujące orientację. Podobieństwo, podstawowe własności i niezmienniki podobieństwa. Jednokładność, podstawowe własności i niezmienniki jednokładności. Rozkład podobieństwa na izometrię i jednokładność. Figury podobne i jednokładne, cechy podobieństwa figur (w szczególności cechy podobieństwa dwóch trójkątów). Związki miarowe w trójkącie prostokątnym, twierdzenie Pitagorasa, twierdzenie odwrotne, uogólnione twierdzenie Pitagorasa. Twierdzenie cosinusów. Potęga punktu względem okręgu, prosta potęgowa. Rzut równoległy na prostą i na płaszczyznę. Twierdzenie Talesa. Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta, twierdzenie o dwusiecznej kąta zewnętrznego trójkąta. Twierdzenie Cevy, twierdzenie Menelaosa.
3. Zadanie konstrukcyjne i jego rozwiązanie (analiza konstrukcji, opis konstrukcji, dowód poprawności, liczba rozwiązań wraz dyskusją istnienia rozwiązania). Podstawowe konstrukcje geometryczne (symetralna, dwusieczna, prosta styczna do okręgu, proste styczne do dwóch okręgów), konstrukcje odcinkowe związane z twierdzeniem Talesa, konstrukcja średniej geometrycznej, złoty podział odcinka. Zastosowanie przekształceń geometrycznych do rozwiązywania zadań konstrukcyjnych.

LITERATURA

1. H. S. M. Coxeter, Wstęp do geometrii dawnej i nowej, PWN, Warszawa 1967.
2. R. Doman, Wykłady z geometrii elementarnej, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2001.
3. R. Hartshorne, Geometry: Euclid and beyond, Springer, New York, 2000.
4. Z. Krygowska, Geometria płaszczyzny, cz. I i cz. II, PZWS, Warszawa 1967.
5. M. Małek, Geometria. Zbiór zadań, GWO, Gdańsk 1994.