Analiza matematyczna 3

TREŚCI NAUCZANIA

1. Ciągi i szeregi funkcyjne. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych. Kryteria zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych. Ciągłość i różniczkowanie granicy ciągu funkcyjnego i sumy szeregu funkcyjnego.
2. Szeregi potęgowe. Szereg Taylora i pojęcie funkcji analitycznej zmiennej rzeczywistej. Rozwijanie w szereg Taylora podstawowych funkcji elementarnych. Funkcje elementarne w dziedzinie zespolonej.
3. Szereg Fouriera. Zbieżność punktowa i jednostajna, twierdzenie Weierstrassa dla odcinka.
4. Odwzorowania wielu zmiennych. Granica, granice iterowane, ciągłość.
5. Rachunek różniczkowy (odwzorowania z $\mathbb{R}^k$ w $\mathbb{R}^n$). Pochodne cząstkowe, kierunkowe i różniczkowalność funkcji. Pochodna, jej sens geometryczny. Pochodna funkcji zespolonej. Macierz Jacobiego, jakobian i gradient. Działania na odwzorowaniach a pochodne. Pochodne wyższych rzędów. Twierdzenie o wartości średniej. Wzór Taylora. Zastosowania do badania ekstremów lokalnych. Twierdzenia o odwzorowaniu uwikłanym, o lokalnej odwracalności odwzorowania klasy $C^1$. Ekstrema warunkowe lokalne.

LITERATURA PODSTAWOWA

1. J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WN-T, Warszawa 1994.
2. G. N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwo Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego, Gliwice 1999.
3. A. Birkholc, Analiza matematyczna, funkcje wielu zmiennych, PWN, Warszawa 1986.
4. B. P. Demidowicz, Sbornik zadacz i uprażnienij po matemematiczeskomu analizu, Izdat. Nauka, Moskwa 1977.
5. J. Dieudonne, Foundations of Modern Analysis, Academic Press, New York and London, 1969.
6. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I,II,III, PWN, Warszawa 1985.
7. W. Kaczor, M. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, cz. I,II, Wydawnictwo UMCS, Lublin 1996.
8. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I,II, PWN, Warszawa 1994.
9. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1978.
10. T. Krasiński, Analiza matematyczna (funkcje jednej zmiennej), WUŁ, Łódź 2003.
11. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1976.
12. H. J. Musielakowie, Analiza matematyczna t. I cz.1, 2. t. II cz.1, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań.
13. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1982.
14. R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2001.
15. R. Sikorski, Rachunek różniczkowy i całkowy (funkcji wielu zmiennych), PWN, Warszawa 1967.
16. M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, PWN, Warszawa 1977.
17. E. Wachnicki, Z. Powązka, Problemy z analizy matematycznej w zadanich, Część I, Wydano nakładem Instytutu Matematyki Akademii Pedagogicznej w Krakowie, 2002.

LITERATURA UZUPEŁNIAJĄCA

1. S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1976.