Algebra z teorią liczb

TREŚCI NAUCZANIA

Teoria podzielności w pierścieniu całkowitym: relacje dzielenia i stowarzyszenia; elementy rozkładalne, nierozkładalne, pierwsze; pierścienie z jednoznacznością rozkładu, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. Ideały główne, pierścienie główne. Pierścienie Euklidesa, algorytm Euklidesa. Teoria podzielności w pierścieniu wielomianów. Twierdzenie Gaussa, wymierne pierwiastki wielomianu z $\mathbb{Z}[x]$, kryterium Eisensteina. Ciała skończone. Teoria Galois. Przegląd najważniejszych metod algebraicznych, geometrycznych, analitycznych i probabilistycznych w relacji do klasycznych problemów teorii liczb. Liczby pierwsze, nieskończoność zbioru liczb pierwszych. Liczby względnie pierwsze. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki. Ułamki łańcuchowe. Równania diofantyczne (w szczególności postaci $ax+by=c,$ gdzie $a, b, c$ są ustalonymi elementami z $\mathbb{Z}$). Kongruencje w $\mathbb{Z}$. Cechy podzielności liczb. Małe twierdzenie Fermata. Twierdzenia: Wilsona, Eulera, Lagrange'a, chińskie o resztach. Reszty kwadratowe, kryterium Eulera, zastosowanie sum trygonometrycznych. Równania diofantyczne nieliniowe. Funkcje arytmetyczne (w szczególności: Eulera, Mobiusa, splot Dirichleta). Rozmieszczenie liczb pierwszych (funkcje dzeta, L). Liczby algebraiczne, liczby algebraiczne całkowite, liczby p-adyczne.

LITERATURA PODSTAWOWA

1. J. Gancarzewicz, Arytmetyka, Wydawnictwo UJ, Kraków 2000.
2. B. Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004.
3. W. Marzantowicz, P. Zarzycki, Elementarna teoria liczb, PWN, Warszawa 2006.
4. J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa 2000.
5. W. Sierpiński, Wstęp do teorii liczb, PZWS, Warszawa 1965.
6. S. Y. Yan, Teoria liczb w informatyce, PWN, Warszawa 2006.

LITERATURA UZUPEŁNIAJĄCA

1. A. Białynicki-Birula, Zarys algebry, PWN, Warszawa 1987.
2. M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1985.
3. A. Chronowski, Podstawy arytmetyki szkolnej cz. 1 i 2., Wydawnictwo Kleks, Bielsko-Biała 1999.
4. W. Narkiewicz, Teoria liczb, PWN, Warszawa 1990.
5. W. Sierpiński, Elementary Theory of Numbers, PWN, Warszawa 1987.