Rachunek prawdopodobieństwa z elementami statystyki matematycznej

TREŚCI NAUCZANIA

Aksjomatyczne ujęcie rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo jako miara unormowana. Niezależność $\sigma$-ciał. Produkt kartezjański przestrzeni probabilistycznych. Przestrzenie produktowe jako przestrzenie probabilistyczne dla serii doświadczeń niezależnych. Prawdopodobieństwo geometryczne. Zmienna losowa jako funkcja mierzalna. Rozkład zmiennej losowej jako miara unormowana generowana na prostej przez funkcję mierzalną. Dystrybuanta zmiennej losowej. Zmienna losowa ciągła - rozkłady ciągłe. Niezależność zmiennych losowych. Parametry rozkładu (momenty) zmiennej losowej (wariancja, macierz, kowariancja).

Ciągi zmiennych losowych i ich rozkładów. Rodzaje zbieżności w teorii prawdopodobieństwa. Zbieżność stochastyczna. Twierdzenia graniczne. Słabe prawo wielkich liczb, mocne prawa wielkich liczb. Prawo wielkich liczb Bernoullego. Prawo wielkich liczb Chinczyna. Twierdzenie Poissona. Rozkład Poissona. Przybliżenie Poissona. Rozkład prostokątny. Rozkład normalny Gaussa. Rozkład wykładniczy. Twierdzenie Moivre'a-Laplace'a.

Zmienna losowa wielowymiarowa (wektor losowy). Rozkład wektora losowego. Rozkłady brzegowe. Rozkłady warunkowe. Zmienne losowe niezależne. Rozkłady sum niezależnych zmiennych losowych. Metoda transformacji. Funkcje tworzące. Proces gałązkowy. Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej. Funkcja charakterystyczna a momenty. Funkcja charakterystyczna a rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych. Pojęcie procesu stochastycznego. Przykłady procesów stochastycznych. Twierdzenie Kołmogorowa o zgodnych miarach. Warunkowa wartość oczekiwana. Martyngał.

Stochastyczny model procesu podejmowania decyzji w warunkach ryzyka. Macierz korzyści. Gra strategiczno-losowa jako model procesu decyzyjnego.

Jednorodny łańcuch Markowa jako szczególny schemat losowy. Graf stochastyczny Engla jako środek opisu i badania łańcucha Markowa. Redukcje grafu stochastycznego. Graf Engla a alogorytmy obliczania prawdopodobieństwa i wartości oczekiwanej w przeliczalnej przestrzeni probabilistycznej.

Zagadnienia estymacji. Estymator. Estymator zgodny. Estymator nieobciążony. Statystyka średnia z próbki. Rozkład statystyki średnia z próbki w przypadku cechy o rozkładzie normalnym a funkcja charakterystyczna. Metoda największej wiarygodności. Testowanie hipotez. Poziom istotności. Test istotności. Obszar krytyczny.

Gra losowa jako środek matematycznej aktywizacji ucznia. Stochastyczne zadania jako ilustracja procesu stosowania matematyki. Rysunek jako narzędzie matematyzacji i argumentacji w rachunku prawdopodobieństwa. Dane statystyczne a refleksja a posteriori (wyjaśnianie na gruncie rachunku prawdopodobieństwa pewnych zaskakujących faktów ujawnionych przez dane statystyczne). Przyrządy losujące jako generatory rozkładów prawdopodobieństwa i jako nośniki ogólnomatematycznych struktur.

Kształtowanie pojęć stochastycznych jako problem dydaktyki matematyki. Wnioskowania przez symetrie i analogie w stochastyce. Pojęcia i metody stochastyczne w nauczaniu matematyki a ilustracja procesu stosowania matematyki. Stochastyczne paradoksy i sofizmaty. Znane z historii i współczesności gry losowe jako źródło idei i zadań stochastycznych.

LITERATURA

1. D. Bobrowski, Probabilistyka w zastosowaniach technicznych, WN-T, Warszawa 1986.
2. W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t.I, PWN, Warszawa 1987.
3. M. Fisz, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1958.
4. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, SCRIPT, Warszawa 2001.
5. L.T. Kubik, Rachunek prawdopodobieństwa. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, PWN, Warszawa 1986.
6. A. Płocki, Prawdopodobieństwo wokół nas. Rachunek prawdopodobieństwa w zadaniach i problemach, Wydawnictwo DLA SZKOŁY, Wilkowice 2004.
7. A. Płocki, Stochastyka dla nauczyciela. Rachunek prawdopodobieństwa, kombinatoryka i statystyka matematyczna jako matematyka ,,in statu nascendi", Wydawnictwo Naukowe NOVUM, Płock 2005.
8. A. Płocki, Dydaktyka stochastyki, Wydawnictwo Naukowe NOVUM, Płock 2005.