Maciej Major, Barbara Nawolska
Matematyzacja, rachunki, dedukcja i interpretacja w zadaniach stochastycznych

Wstęp

Przedmiotem pracy są matematyczne aktywności kreowane przez proces konstruowania i badania co najwyżej przeliczalnych przestrzeni probabilistycznych. Przestrzenie te tworzone są w pracy jako:
a) obiekty matematyczne bez odniesień do rzeczywistości ale także jako
b) modele probabilistyczne pewnych realnych (lub pomyślanych, a więc teoretycznych, choć opisanych w terminach pozamatematycznych) sytuacji oraz towarzyszących im stosunków ilościowych (moce, frakcje, proporcje) i jakościowych (symetrie, analogie).
W tym drugim przypadku chodzi m. in. o stochastyczne modelowanie pozamatematycznych sytuacji. Jest ono elementem fazy matematyzacji, którą w stochastyce organizuje się specyficznymi środkami, jak graf stochastyczny, drzewo stochastyczne, szczególne symetrie i analogie.

Praca jest monografią z dydaktyki matematyki i dotyczy osobliwych dla stochastyki form matematycznej działalności związanej z organizacją fazy matematyzacji, fazy rachunków i dedukcji oraz fazy interpretacji w procesie rozwiązywania problemów (także pozamatematycznych) na gruncie rachunku prawdopodobieństwa i (w skromniejszym zakresie) statystyki matematycznej.

Konstruowanie przestrzeni probabilistycznych przeliczalnych przedstawiono w pracy jako działalność matematyczną (choć w niektórych sytuacjach dotyczącą pogranicza świata realnego i świata matematyki). Chodzi o ukazywanie na przykładzie rozwiązywania odpowiednich problemów i zadań z rachunku prawdopodobieństwa co i jak się matematyzuje.

Badanie przestrzeni co najwyżej przeliczalnych, a więc rachunki i dedukcję w tych przestrzeniach (także nieskończonych) można organizować za pomocą elementarnych środków matematycznych. Są nimi na przykład pewne redukcje, umożliwiające przejście do przestrzeni skończonych, pewne proste w działaniu algorytmy, pewne izomorfizmy, wnioskowania przez symetrie i analogie oraz graf stochastyczny. Ten ostatni jest w pracy nie tylko środkiem matematyzacji, ale i rozumowania.

W pracy pokazuje się także, jak - w zależności od sytuacji - interpretuje się rezultaty rachunków i dedukcji a przede wszystkim z jakiego powodu należy to robić. Mowa tu o formułowaniu wiarygodnych wniosków, jakie na temat praktyki mogą wynikać z pewnych własności przestrzeni probabilistycznej (a więc np. z wielkości wyliczonego prawdopodobieństwa zdarzenia w określonej przestrzeni probabilistycznej, jeśli jest ona modelem pozamatematycznej sytuacji, albo z postaci rozkładu danej zmiennej losowej bądź z wielkości jej wartości oczekiwanej). Dzięki odpowiedniej problematyce zadań w pracy próbuje się dawać odpowiedź na pytania: dlaczego się matematyzuje, dlaczego tworzy się przestrzenie probabilistyczne, jakie wnioski mogą wynikać z rachunków i dedukcji w tych przestrzeniach na temat praktyki? Ten pozamatematyczny aspekt badania przestrzeni probabilistycznych dotyczy motywacji, co jest ważne w nauczaniu matematyki. Faza interpretacji, o której tu mowa, obejmuje specyficzne wnioskowania, które składają się na metodologię stochastyki (por. A. Płocki, Stochastyka 1. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna "in statu nascendi", Wydawnictwo Naukowe WSP Kraków, Kraków 1997, oraz A. Płocki, Stochastyka 2. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Zarys dydaktyki, Wydawnictwo Naukowe WSP Kraków, Kraków 1997).

Koncepcja tej monografii została oparta na postulacie, że głównym celem nauczania matematyki jest kształcenie matematyczne i kształcenie poprzez matematykę. W zakres tego kształcenia wchodzi rozwijanie umiejętności i postaw specyficznych dla działalności matematycznej. Jeśli mamy na uwadze przygotowanie nauczyciela do realizacji takich celów, to zajęcia z rachunku prawdopodobieństwa na sekcji nauczycielskiej nie mogą obejmować tylko zestawu definicji, twierdzeń i pewnych technik rachunkowych, ale także specyficzne wnioskowania.

Własności przestrzeni probabilistycznych uzyskane w fazie rachunków i dedukcji wykorzystujemy głównie w procesie podejmowania decyzji w warunkach ryzyka (W. Sadowski, Decyzje i prognozy, PWE, Warszawa 1997.). W pracach: B. de Finetti, Subjective or Objective Probability, Symposia Mathematica IX, Bologne 1972; R. Kapadia, M. Borovcnik, Chance Encounters: Probability in Education, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht - Boston - London 1991; E. Fischbein, The Intuitive Sources of Probabilistic Thinking in Childern, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht 1975 oraz w A. Płocki, Stochastyka 1. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna "in statu nascendi", Wydawnictwo Naukowe WSP Kraków, Kraków 1997 proponuje się oparcie koncepcji nauczania rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej na idei procesów podejmowania decyzji w warunkach ryzyka i procesów decyzyjnych w sytuacji niepewności. W przypadku procesów decyzyjnych w warunkach ryzyka możemy a priori określać przestrzenie probabilistyczne jako modele stanów świata zewnętrznego (W. Sadowski, Decyzje i prognozy, PWE, Warszawa 1997). Prostym modelem takiego procesu jest gra strategiczno-losowa. Rekwizytami w takich grach są przyrządy losujące o wyraźnych cechach matematycznych (symetrie kostki, proporcje liczb kart w talii, czy liczb figur na walcach jednorękiego bandyty, miary sektorów na kołach fortuny, por. J. Scarne, Scarne's New Complete Guide to Gambling, Simon and Schuster, New York 1974 i A. Płocki, Stochastyka 1. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna "in statu nascendi" , Wydawnictwo Naukowe WSP Kraków, Kraków 1997, s. 9-15). W niniejszej monografii zaproponowano zadania ilustrujące, jak i dlaczego tworzy się stochastyczne modele procesu decyzyjnego w warunkach ryzyka (por. A. Płocki, Stochastyka 1. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna "in statu nascendi" , Wydawnictwo Naukowe WSP Kraków, Kraków 1997, s. 182-196). Mówimy o procesie podejmowania decyzji w sytuacji niepewności, jeśli prawdopodobieństw stanów świata zewnętrznego nie potrafimy określić a priori. W pracy: B. de Finetti, Subjective or Objective Probability, Symposia Mathematica IX, Bologne 1972, na przykładzie takich procesów wprowadza się pojęcie prawdopodobieństwa subiektywnego.

Przeliczalne przestrzenie probabilistyczne są w pracy m. in. modelami probabilistycznymi szczególnych doświadczeń losowych. Chodzi o czekanie na serię albo na jedną z wielu ustalonych serii orłów i reszek oraz - ogólnie - na jedną z serii sukcesów i porażek. Pewną osobliwością tych przestrzeni są liczne paradoksy. Chodzi tu o własności tych przestrzeni (uzyskane w drodze dedukcji i rachunków), które wyraźnie odbiegają od tego, co podsuwa nam nasza intuicja, nasze naiwne wyobrażenia. W pracy wydzielono szereg mało znanych argumentacji dotyczących takich przestrzeni (w tym także argumentacji, że pewne, sugerowane przez intuicje argumentacje są błędne). W większości są to paradoksy odkryte w trakcie naszych zajęć ze studentami oraz w trakcie naszych badań związanych z:
- treścią i formami kontroli kompetencji w zakresie stochastyki studentów na sekcji nauczycielskiej (M. Major) oraz z
- osobliwymi formami aktywności matematycznych kreowanymi przez problematykę stochastyczną, głównie problematykę obejmującą paradoksy (B. Nawolska).

Paradoksy, o których tu mowa, zebrano w rozdziale 6. Zostały one w pracy zaprezentowane jako źródło ciekawych (gdy chodzi o kreowane przez nie formy matematycznej aktywności) zadań stochastycznych. Formułowanie tych zadań, poszukiwanie metod i narzędzi ich rozwiązywania ("atakowanie") oraz ich rozwiązywanie, przedstawiono jako szeroko pojętą działalność matematyczną. Wprowadzenie gry losowej (głównie chodzi tu o gry typu Penneya) pozwala włączać do problematyki tych zadań zagadnienia pozamatematyczne (rozstrzyganie, czy gra jest sprawiedliwa, podejmowanie decyzji co do wyboru serii jako podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka).

W pracy proponuje się szczególne sytuacje problemowe, jako źródło zadań z rachunku prawdopodobieństwa. Chodzi o sytuacje powstałe na tle ujawnionych przez dane empiryczne (dane statystyczne) zaskakujących faktów (bo np. sprzecznych z tym co sugeruje intuicja). W zadaniach, jakie kreuje taka sytuacja, trzeba na gruncie rachunku prawdopodobieństwa wyjaśnić owe (na ogół nieoczekiwane) fakty empiryczne. Mowa tu o sytuacjach, w których pewne własności przestrzeni probabilistycznej ujawniają dane statystyczne, a ponieważ własności te istotnie odbiegają od tego, co sugeruje nam nasza intuicja, powstaje pytanie: Dlaczego tak się stało? Jak to wytłumaczyć na gruncie matematyki? W pracy: A. Płocki, Refleksja a posteriori - mało znana w nauczaniu stochastyki forma aktywności matematycznej, Wyż. Szkoła Ped. Kraków. Rocznik Nauk.-Dydakt. Prace z Rachunku Prawdopodobieństwa i jego Dydaktyki I (1998), 146-178, mówi się w tym kontekście o organizacji refleksji a posteriori. Ten typ zadań stochastycznych inspiruje w niniejszej pracy szczególne formy matematycznej aktywności związanych z odkrywaniem i wyjaśnianiem paradoksalnych własności pewnych przeliczalnych przestrzeni probabilistycznych.

Przedmiotem pracy są różne aktywności matematyczne (typowe dla stochastyki jak i obecne w innych dziedzinach matematyki) kreowane przez trzy fazy procesu rozwiązywania problemów:
- fazę matematyzacji,
- fazę dedukcji i rachunków,
- fazę interpretacji.

Chodzi głównie o problemy pozamatematyczne. W przypadku problemów stochastycznych, dla każdego tworzy się oddzielną przestrzeń probabilistyczną. Z fazą matematyzacji mamy więc do czynienia także wtedy, gdy problem jest matematyczny. Aktywności towarzyszące każdej z tych faz przy rozwiązywaniu problemów proponowanych w niniejszej pracy, omawia się szczegółowo w rozdziale 7.

Jednym z aktualnych dziś zagadnień dydaktyki matematyki jest forma i treść zadań, za pomocą których można kontrolować i oceniać wiedzę z rachunku prawdopodobieństwa. W zakres tego zagadnienia wchodzi także pytanie: o jaką wiedzę powinno tu chodzić? Czy tylko o zestaw definicji, twierdzeń i pewnych technik rachunkowych, czy także (a może przede wszystkim) o specyficzną metodologię, która wyróżnia tę dziedzinę matematyki od geometrii, czy arytmetyki. W wielu podejściach do kształcenia matematycznego podkreśla się, że obok geometrycznego i arytmetycznego aspektu, ważny staje się dziś aspekt stochastyczny matematycznego myślenia. Chodzi o ukazywanie pojęć i metod rachunku prawdopodobieństwa oraz statystyki matematycznej jako osobliwych narzędzi opisu i badania rzeczywistości. Podobnie, jak w przypadku pojęć i metod geometrii w nauczaniu matematyki, pojęcia i metody stochastyczne chcemy ukazywać jako narzędzia analizy, opisu i badania przestrzeni, w której uczeń żyje i działa. Wśród celów nauczania rachunku prawdopodobieństwa wymienia się ukazywanie co i jak się matematyzuje na przykładzie tworzenia modeli probabilistycznych rozmaitych realnych sytuacji, z którymi stykamy się w trakcie procedur związanych z losowaniem jednej z wielu możliwości, z oceną ryzyka, z oceną swoich szans w grze itd. Według H. Freudenthala (H. Freudenthal, Mathematik als padagogische Aufgabe, Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1977) rachunek prawdopodobieństwa, obok geometrii, dostarcza najlepszych przykładów ilustrujących proces matematyzacji. Mowa tu więc o dwu ważnych zadaniach kształcenia matematycznego:
- ukazywanie stochastycznego aspektu matematycznego myślenia i metody matematycznej oraz
- ukazywaniu co, jak i dlaczego się matematyzuje.
Takie podejście do miejsca i roli problematyki stochastycznej w kształceniu matematycznym (i ogólnym) wymaga włączania w zakres kontroli i oceny wiedzy probabilistycznej także wnioskowań stochastycznych, które są treścią głównie fazy interpretacji.

W rozdziale 8. prezentujemy nasze propozycje tematyki, a także formy zadań z rachunku prawdopodobieństwa, adresowanych do kandydatów na studia matematyczne w krakowskiej WSP od roku 1992. Poprzez te zadania można - naszym zdaniem - kontrolować to, co powinno być przedmiotem kontroli wiedzy w zakresie rachunku prawdopodobieństwa.

W kontekście tego zagadnienia omawia się także w pracy propozycje kontroli wiedzy (intuicji, wyobrażeń) dotyczącej podstawowego pojęcia tej dziedziny matematyki, tj. pojęcia prawdopodobieństwa jako szczególnej funkcji. Jak wynika z naszych wieloletnich badań, wiele własności prawdopodobieństwa błędnie kojarzy się z własnościami prawdopodobieństwa klasycznego. I jest to zjawisko zaskakująco powszechne. Zamieszczony w pracy test obejmuje serię twierdzeń (na ogół fałszywych), które - jak wykazały nasze badania - studenci w przeważającej większości (także studenci matematyki po tradycyjnym kursie rachunku prawdopodobieństwa) mylnie uznają za prawdziwe. Badania przeprowadziliśmy wśród studentów matematyki sekcji nauczycielskich w kilku uczelniach. Rezultaty tych badań skłaniają do głębszych refleksji nad tym, jak kształcimy w zakresie rachunku prawdopodobieństwa nie tylko w szkole, ale i w wyższej uczelni (nas interesuje głównie sekcja nauczycielska tych uczelni).

Na jednym z posiedzeń Ogólnopolskiego Seminarium z Dydaktyki Matematyki w r. 1988 Prof. A. Z. Krygowska stwierdziła, że jest bardzo ważne, aby opracowywać (i analizować z punktu widzenia dydaktyki) matematyczne zadania dla szkoły i nauczyciela pod kątem tego, czego dokładnie poprzez ich rozwiązywanie można uczyć, dlaczego dajemy je uczniowi (studentowi) do rozwiązywania. Było to jedno z ostatnich posiedzeń seminarium z udziałem Prof. Krygowskiej. Niniejsza monografia powstawała w kontekście takich właśnie pytań stawianych w stosunku do zadań z rachunku prawdopodobieństwa oraz w kontekście roli i miejsca, jakie tego typu zadania mogą pełnić w kształceniu przez matematykę.

Przedmiotem monografii jest także przetwarzanie materiału naukowego na użytek nauczania a w istocie kształcenia matematycznego. Nowe treści matematyki możliwe do włączania w programy matematyki - jeśli ma się na uwadze kształcenie stochastyczne - trzeba poddawać procesowi, który w pracy: Z. Krygowska, Główne problemy i kierunki badań współczesnej dydaktyki matematyki, Dydaktyka Matematyki 1 (1982), (s. 30) nazywa się "elementaryzacją". W przypadku treści stochastycznych łańcuchy Markowa o skończonym zbiorze stanów można uznać za materiał możliwy do adaptacji na grunt matematyki szkolnej, a więc w pewnym sensie na grunt powszechnego kształcenia matematycznego. Powód tego włączania tkwi w bogactwie i osobliwości środków matematyzacji i argumentacji, z jakimi możemy mieć do czynienia w przypadku problematyki związanej z tymi schematami losowymi. Materiał, który dotyczy łańcuchów Markowa jest wyjątkowo bogaty w rozmaite matematyczne treści i formy aktywności matematycznej.

Monografia jest projektem dydaktycznym opartym na "elementaryzacji" teorii procesów stochastycznych. Elementaryzacja ukierunkowana jest na metodę sokratyczną jako pewną metodyczną koncepcję matematycznego kształcenia (matematyka in statu nascendi, matematyka jako aktywność, "genetyczna droga do matematyki").

Cel pracy to również:
a) konstruowanie zadań i propozycje "surowca" do ich tworzenia: na użytek nauczania, a w istocie na użytek kształcenia stochastycznego (jako ważnego aspektu matematycznego kształcenia),
b) analiza aktywności kreowanych przez te zadania, ustalenie roli ich treści i formy w kreowaniu matematycznego odkrycia, a także w procesie kontroli i oceny kompetencji w zakresie stochastyki,
c) wypracowanie formy i problematyki zadań dla studentów przygotowujących się do zawodu nauczyciela matematyki (rola i miejsce zadań w kształceniu stochastycznym, ale i ogólnomatematycznym) nauczyciela matematyki).

Przedstawiona w tej monografii pewna "filozofia" zadań stochastycznych (chodzi o treść, formę a także układ zadań) oparto na zasadzie, że nie tylko trzeba nauczyć rozwiązywania zadań i problemów, ale przede wszystkim trzeba uczyć jak te problemy i zadania formułować, a także jak dobierać różne środki argumentacji (bez sugerowania się wyłącznie poznanym wcześniej algorytmem) i jak redagować ich rozwiązania. Takie podejście do roli zadań matematycznych uznaliśmy za szczególnie ważne w przypadku kształcenia w zakresie stochastyki przyszłego nauczyciela matematyki.