Adam Płocki
Stochastyka 1. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna "in statu nascendi''

Wstęp

Rachunek prawdopodobieństwa, zwany inaczej probabilistyką, prezentowany jest w literaturze matematycznej jako gotowa teoria dedukcyjna mająca swą własną teorię zastosowań w postaci statystyki matematycznej.

Ekspansja pojęć i metod probabilistycznych i statystycznych na różne dziedziny wiedzy i działalności praktycznej sprawia, że elementy obu tych teorii stają się ważnym czynnikiem matematycznego kształcenia i to już na poziomie elementarnym. W kontekście kształcenia matematycznego szerokich rzesz społeczeństwa zrodziły się więc problemy:
- czego uczyć z tych dziedzin matematycznych,
- jak uczyć i dlaczego,
- jak uruchamiać, motywować, organizować i wspomagać proces nauczania,
- jak w ramach tego nauczania rozwijać stochastyczną kulturę (trzeba dziś mówić o takiej kulturze podobnie, jak należy mówić o kulturze geometrycznej), jak w ramach nauczania organizować kształcenie stochastyczne.
Wraz z nimi pojawiło się zagadnienie kształcenia nauczycieli w zakresie obu tych dziedzin matematycznych.

W odniesieniu do nauczania szkolnego coraz powszechniej mówi się o stochastyce jako pewnej fuzji elementów probabilistyki, statystyki matematycznej oraz teorii procesów stochastycznych (w tym węższym znaczeniu używamy w tej pracy terminu stochastyka), a także treści kombinatorycznych i elementów statystyki opisowej.

Modernizacja nauczania matematyki obejmuje między innymi przybliżanie idei nauczania do nowoczesnej matematyki, tj. budowanie koncepcji szkolnej matematyki na bazie tych idei, które leżą u podstaw współczesnej matematyki (idee stochastyczne są dziś tej matematyki ważnym elementem) wraz ze stosowaniem jej metod i języka, ale z uwzględnieniem rezultatów badań w dziedzinie dydaktyki, pedagogiki i psychologii. Istniejącą przepaść między nauką i nauczaniem (matematyki) próbuje się zmniejszać powielając w nauczaniu wykład gotowych teorii matematycznych. Rachunek prawdopodobieństwa jest typowym przykładem tego zjawiska.

Matematyka rozumiana jest w dwojakim sensie: albo jako określona działalność intelektualna, albo jako teoria, będąca tej działalności rezultatem. W drugim znaczeniu matematyki, jej nauczanie jest prezentacją gotowego produktu. W znaczeniu pierwszym, nauczanie jest kreowaniem matematyki, a więc odkrywaniem jej pojęć i metodologii przez ucznia. W tym ujęciu nauczanie prezentuje matematykę w stadium tworzenia. Niewątpliwie porażki pierwszych koncepcji nauczania probabilistyki (także w Polsce w latach 70-tych) mają swe źródła w tendencjach do przekazywania uczniowi teorii aksjomatycznej jako gotowego produktu, bez jej propedeutyki, tj. elementarnych podstaw. Akademicki wykład zdawał się być jedynym właściwym wzorcem do tworzenia ujęć szkolnego rachunku prawdopodobieństwa. Przeniesienie metod wykładania gotowej wiedzy ze szkoły wyższej do szkoły średniej (a nawet podstawowej) nie zostało i nie mogło zostać uwieńczone sukcesem.

Elementarne początki, analiza empirycznych źródeł oraz specyficznej natury idei i pojęć stochastycznych w podręcznikach akademickich stanowią, ze zrozumiałych powodów, jedynie krótkie (czasami zredukowane do jednej strony) wprowadzenie w dedukcyjne rozwijanie teorii. Niniejsza praca nie przedstawia wykładu teorii probabilistycznej jako gotowego produktu. Takich prac jest już wiele. Przedmiotem pracy jest:
a) próba prezentacji stochastyki in statu nascendi, próba ukierunkowana na analizę naturalnego sensu abstrakcyjnych pojęć i struktur, ich genetycznego związku z materialnym światem, ich konkretnych modeli oraz różnych rodzajów, stopni i rozmaitych sposobów zastosowań,
b) prezentacja pojęć i metod stochastycznych jako specyficznego i odkrywanego w trakcie rozwiązywania problemów narzędzia opisu i badania rzeczywistości,
a równocześnie
c) próba ukazania miejsca i roli tego odkrycia w kształceniu poprzez matematykę i w ukazywaniu metodologii matematyki.

Jest to więc praca z dydaktyki rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej. Poświęcona jest ona elementarnej stochastyce jako przedmiotowi nauczania rozumianego jako nauczanie matematycznej działalności.

Matematykę elementarną, propedeutykę danej dziedziny musi cechować dostateczna prostota materiału oraz prostota jego przedstawienia. Odpowiedź na pytanie, co należy odnieść do tych elementarnych początków stochastyki, uwarunkowana jest możliwościami adaptacji takich czy innych treści stochastycznych na grunt "matematyki dla wszystkich", a więc matematyki ukształtowanej na potrzeby kształcenia ogólnego. Nie wszystko, co uważało się dotąd za materiał niedostatecznie prosty lub nie dający się przedstawić dostatecznie prostymi środkami, lub nie mający ogólnokształcącego charakteru albo praktycznego znaczenia, jest takie w rzeczywistości. Do elementarnego kursu stochastyki włączono w tej pracy treści powszechnie uchodzące za elementy zaawansowanego rachunku prawdopodobieństwa (modele nieskończone, procesy stochastyczne), czy zaawansowanej statystyki (testowanie hipotez). Dzięki odpowiednim środkom i zabiegom dydaktycznym, dzięki pewnej metodycznej obróbce, treści te stały się możliwe do realizacji na elementarnym etapie nauczania, wzbogacając to nauczanie o nowe treści, nowe idee i nowe narzędzia.

Różne ujęcia teorii stanowią w opracowywaniu dydaktycznych koncepcji pewien surowiec matematyczny, który wymaga wtórnego, jeszcze matematycznego, opracowania na potrzeby nauczania (dobór treści, ich układ, ich powiązanie z resztą matematyki, wybór takich, a nie innych definicji, czy dowodu twierdzenia), a następnie dydaktycznej obróbki. Należy tu także brać pod uwagę pewien surowiec empiryczny, a więc wszystkie nadające się do matematycznego modelowania realne sytuacje, z których wywodzą się pojęcia i idee stochastyczne jako narzędzia rozwiązywania problemów. Ze zrozumiałych powodów akademicki wykład teorii nie uwzględnia tego empirycznego tworzywa.

Przedstawiona w pracy propozycja kursu stochastyki dla nauczyciela powstawała i była weryfikowana w trakcie prowadzonych przez wiele lat wykładów i ćwiczeń z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej w uczelni kształcącej nauczycieli, a przede wszystkim w trakcie osobiście prowadzonych zajęć w szkole.

Matematyczna twórczość to przede wszystkim rozwiązywanie matematycznych zadań. Uczący się, czy studiujący matematykę otrzymuje do rozwiązywania gotowe zadania stochastyczne, nie znając na ogół okoliczności, w których to zadanie sformułowano i powodów, dla których jego rozwiązanie może być komuś potrzebne (brak motywacji jest zasadniczą przyczyną niepopularności rachunku prawdopodobieństwa w społeczeństwie). Prawie nigdy uczeń (student) nie bywa stawiany w sytuacji, w której takie zadanie musiałby sformułować sam. Część I pracy jest próbą pokazania, jak w trakcie formułowania i rozwiązywania zadań powstałych na tle realnych, pozamatematycznych sytuacji można odkrywać pojęcia, twierdzenia i metody stochastyczne jako narzędzia rozwiązywania problemów. Formułowanie, atakowanie i rozwiązywanie zadań stochastycznych ukazano w tej pracy jako szeroko rozumianą twórczość matematyczną.

Obie części pracy poświęcone są w szerokim zakresie "kształtowi" i roli stochastycznych zadań w matematycznym odkryciu oraz stymulującemu wpływowi problemów i sytuacji problemowych na matematyczną aktywizację ucznia, na rozwijanie jego zainteresowań, na rozumienie stosunku teorii do rzeczywistości, na rozumienie metodologii stochastyki. Postawa ucznia wobec matematyki uwarunkowana jest rodzajami problemów jakie są przed nim stawiane w klasie i w jego pracy indywidualnej. Formułowanie zadań stochastycznych, próby szukania ich rozwiązania i ich rozwiązywanie, refleksja a posteriori, odkrywanie narzędzi rozwiązywania, poszukiwanie środków argumentacji potraktowane zostały jako podstawowe formy rozwijania aktywności ucznia, nabywania wiedzy i sprawności, zdobywania pewnej kultury stochastycznej, poznawania metodologii i zastosowań matematyki.

Część I pracy jest ukonkretnieniem ogólnych, przedstawionych w części II, idei dydaktycznych związanych z miejscem problematyki stochastycznej w matematycznej aktywizacji ucznia, w kształceniu poprzez matematykę, a także w kształceniu ogólnym. Część I zawiera próbę odpowiedzi na pytanie, co może stanowić treść stochastycznego kształcenia nauczyciela matematyki, co treść nauczania w kursie "matematyki dla wszystkich", a więc co i jak nauczać z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej. W części II znajduje się próba odpowiedzi na pytanie: dlaczego?

Nie bez znaczenia w nauczaniu matematyki jest język, którym uczeń opisuje pojęcia, ich własności oraz wykonywane operacje. Przyjęta w teorii probabilistycznej terminologia sprawia w nauczaniu pewne kłopoty (uczniowie, studenci i nauczyciele stale mylą doświadczenie losowe ze zdarzeniem losowyn, a to ostatnie ze zdarzeniem elementarnym). W tej pracy język potraktowano jako pewien środek dydaktyczny, dostosowując terminy do ich empirycznych znaczeń. Zdarzenie elementarne nazwano wynikiem, przestrzeń zdarzeń elementarnych nazwano przestrzenią wyników (taki termin - Ergebnisraum - przyjęty jest np. w niemieckojęzycznej literaturze probabilistycznej), rozkład dyskretny nazwano rozkładem ziarnistym (ta nazwa dobrze oddaje sens pewnej fizycznej interpretacji tego rozkładu). Podkreślmy, że terminologia w innych dziedzinach matematyki nie jest jednoznacznie ustalona (wystarczy przypomnieć ile różnych terminów przyjęto w matematyce na nazwę funkcji, czy nazwy działań na zbiorach) i że nie powinno być obojętne, które z tych nazw przenosimy na grunt matematyki szkolnej.

Praca jest drugim, zmienionym w sposób istotny, wydaniem książki Propedeutyka rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej dla nauczycieli wydanej w Wydawnictwie Naukowym PWN w 1992 r.