Celem tego przedmiotu jest ogólniejsze i łączne spojrzenie na analizę
matematyczną, algebrę liniową i topologię oraz pokazanie, jak przy
pomocy ogólnych metod można rozwiązywać różne zagadnienia szczegółowe.
| SEMESTR 8 | TREŚCI NAUCZANIA |
- Przestrzenie Banacha. Przestrzenie unormowane, własności normy,
zupełność, uzupełnianie
przestrzeni unormowanych, przykłady przestrzeni unormowanych ciągowych
i funkcyjnych (nierówności Höldera i Minkowskiego), skończenie
wymiarowe
przestrzenie unormowane, zwartość (w przypadku skończenie i
nieskończenie wymiarowym), szeregi w przestrzeniach
unormowanych,izometrie.
- Przestrzenie Hilberta. Nierówność Schwarza, związki iloczynu
skalarnego z normą, ortogonalność, twierdzenie
Pitagorasa, dopełnienie ortogonalne (twierdzenie o rzucie
ortogonalnym), układy ortogonalne, układy ortonormalne
zupełne, szeregi Fouriera (nierówność Bessela, tożsamość Parsevala,
układ trygonometryczny), twierdzenie Riesza-Fishera.
- Operatory liniowe ciągłe. Ograniczoność i ciągłość, norma
operatora, przestrzeń dualna, twierdzenie
Riesza o postaci
funkcjonałów liniowych w przestrzeni Hilberta, twierdzenie Banacha o
operatorze otwartym, twierdzenie o operatorze odwrotnym, twierdzenie o
domkniętym wykresie, twierdzenie Banacha-Steinhausa, twierdzenie
Hahna-Banacha, operatory sprzężone.
- Wiadomości uzupełniające.
Elementy teorii spektralnej, przestrzenie liniowo-topologiczne,
twierdzenia o punkcie stałym.
- J. Chmieliński, Analiza funkcjonalna. Notatki do
wykładu, WN AP, Kraków 1999.
- W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej. Biblioteka
Matematyczna t.36, PWN, Warszawa 1970.
- J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa, 1989.
- W. Rudin, Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa 2001.
Instytut Matematyki Akademii
Pedagogicznej w Krakowie,
15.06.2003
