Nastepny dokument:	Analiza funkcjonalna
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument:	Topologia

Rachunek prawdopodobieństwa

CELE NAUCZANIA

1. Pokazanie co, jak i dlaczego matematyzuje się w rachunku prawdopodobieństwa. Ukazanie osobliwych obiektów i środków matematyzacji, a także motywacji dla konstrykcji przestrzeni probabilistycznych jako modeli pewnych realnych sytuacji i towarzyszących im stosunków ilościowych i jakościowych. Ukazanie pojęć i metod stochastycznych (w tym także wnioskowań statystycznych) jako specyficznych matematycznych narzędzi opisu i badania rzeczywistości. Uznanie tego celu za podstawowy wynika z faktu, że kurs adresowany jest do studentów przygotowujących się do zawodu nauczyciela matematyki.
2. Prezentacja rachunku prawdopodobieństwa jako teorii dedukcyjnej (ukazywanie nie tyle gotowej teorii aksjomatycznej ile procesu aksjomatyzacji).
3. Kształtowanie intuicji stochastycznych jako ważnego dziś aspektu matematycznej kultury poprzez odpowiednią organizację procesu kształtowania pojęć, poprzez odkrywanie twierdzeń a także metod wnioskowania (zarówno w probabilistyce jak i w statystyce matematycznej) w trakcie rozwiązywania zadań powstałych na tle specyficznych sytuacji problemowych.
4. Przygotowanie studentów do nauczania rachunku prawdopodobieństwa wraz z elementami statystyki matematycznej poprzez prezentację stochastyki nie jako gotowej teorii, ale poprzez jej tworzenie w trakcie rozwiązywania problemów.
5. Ukazanie autentycznego procesu stosowania matematyki (procesy decyzyjne w sytuacjach ryzyka i ich stochastyczne modele, weryfikacja hipotez, prawdopodobieństwo jako ocena ryzyka i decyzje wynikające z jego wielkości, oceny oczekiwanych zysków i strat w grach hazardowych, estymacja i jej wiarygodność, metody Monte Carlo).
6. Materiał obejmuje treści zaliczane do stochastyki rozumianej jako fuzja elementów rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, a także - w pewnym zakresie - elementów kombinatoryki i statystyki opisowej.

SEMESTR 6

TREŚCI NAUCZANIA

1. Przestrzeń probabilistyczna ziarnista (dyskretna) jako para ($\Omega,p$), gdzie $\Omega$ - zbiór co najmniej dwuelementowy i co najwyżej przeliczalny, a $p$ - funkcja ze zbioru $\Omega$ w zbiór liczb rzeczywistych, nieujemna i taka, że $\sum_{\omega\in \Omega}p(\omega)=1$. Doświadczenie losowe jako obiekt realnego świata. Przestrzeń probabilistyczna jako model doświadczenia losowego. Drzewo stochastyczne jako środek konstrukcji przestrzeni probabilistycznej. Drzewo a podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. $*$Graf stochastyczny jako środek konstrukcji przestrzeni probabilistycznej (graf jako środek matematyzacji). Klasyczne rozkłady prawdopodobieństwa na zbiorach skończonych. Tablice cyfr losowych. Losowanie próbki. Izomorfizm przestrzeni probabilistycznych. $*$Stochastyczny model procesu podejmowania decyzji w sytuacjach ryzyka.
2. Algebra zdarzeń. Definicja prawdopodobieństwa zdarzenia w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej ( $P(A)=\sum_{\omega\in A}p(\omega)$). Własności prawdopodobieństwa. Zdarzenia praktycznie niemożliwe. Prawdopodobieństwo jako ocena pewnego ryzyka. Prawdopodobieństwo jako narzędzie weryfikacji hipotez. Różne aspekty prawdopodobieństwa (klasyczny, miarowy, statystyczny, subiektywny, idea stochastycznego grafu przepływu). Prawdopodobieństwo klasyczne. Geometryczna przestrzeń probabilistyczna - prawdopodobieństwo geometryczne. Aksjomatyzacja rachunku prawdopodobieństwa. Aksjomatyczna definicja przestrzeni probabilistycznej.
3. Prawdopodobieństwo warunkowe. Prawdopodobieństwo całkowite. Prawdopodobieństwo warunkowe a posteriori. Wzór Bayesa. Zdarzenia stochastycznie niezależne. Niezależność stochastyczna parami. Niezależność zespołowa. Niezależność $\sigma$-ciał.
4. Typowe schematy losowe i przestrzenie probabilistyczne jako ich modele. Próba Bernoulliego. Schemat Bernoulliego. Produktowe przestrzenie probabilistyczne dla serii doświadczeń niezależnych. Oczekiwanie na pierwszy sukces. Schemat Pascala. Schemat kolekcjonera. Schemat Ehrenfestów. Schematy urnowe a losowe rozmieszczenia. $*$ Graf stochastyczny schematu losowego o losowej liczbie etapów.
5. Zmienna losowa w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej. Zmienna losowa jako wygrana w grze. Czas trwania doświadczenia losowego o losowej liczbie etapów jako zmienna losowa. Rozkład zmiennej losowej. Dystrybuanta. Przestrzeń probabilistyczna generowana na prostej przez zmienną losową ziarnistą. Rozkład dwumianowy. Rozkład czasu oczekiwania na pierwszy sukces jako rozkład geometryczny. Rozkład Pascala. Wartość oczekiwana zmiennej losowej. Wartość oczekiwana a gry sprawiedliwe oraz prosperowanie gier hazardowych. Wariancja. Odchylenie standardowe. Nierówność Czebyszewa. Kowariancja. Moda. Proces podejmowania decyzji w sytuacjach ryzyka. Maksymalizacja średnich korzyści jako kryterium ustalania decyzji optymalnej.
6. Ciągi zmiennych losowych i ich rozkładów. Prawo wielkich liczb Bernoullego. Prawo wielkich liczb a szacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia za pomocą jego częstości.
7. Populacja generalna. Cecha. Rozkład cechy w populacji. Wartość średnia cechy. Próbka jako dane statystyczne. Gromadzenie i opracowywanie próbki. Elementy statystyki opisowej. Próbka losowa. Estymator. Średnia z próbki jako estymator. Estymator zgodny. Estymacja. Metoda największej wiarygodności na przykładzie szacowania nieznanej liczby czarnych kul w urnie (liczby wadliwych sztuk w partii towaru). Proste przykłady weryfikacji hipotez. Test istotności. Konstrukcja regulaminu wiarygodnego oceniania rezultatów testowych sprawdzianów wiedzy. Rozstrzyganie środkami matematycznymi czy dany fakt jest rezultatem wiedzy, talentu, czy też przypadku (np. zgadywania).
8. Dydaktyka stochastyki. Gra losowa jako środek matematycznej aktywizacji ucznia. Stochastyczne zadania jako ilustracja procesu stosowania matematyki. Rysunek jako narzędzie matematyzacji i argumentacji w rachunku prawdopodobieństwa. Dane statystyczne jako inspiracja matematycznej działalności (refleksja a posteriori, wyjaśnianie na gruncie rachunku prawdopodobieństwa pewnych zaskakujących faktów ujawnionych przez dane statystyczne). Paradoksy stochastyczne a kształtowanie pojęć i intuicji stochastycznych. Przyrządy losujące jako generatory rozkładow prawdopodobieństwa i jako nośniki ogólnomatematycznych struktur. Nieprzechodnie kostki B.Efrona. Gry Penney'a i paradoksy z nimi związane. Informacje o niektórych koncepcjach nauczania rachunku prawdopodobieństwa (A.Engla, H.Freudenthala, L.Rade. T.Varga).

SEMESTR 6

LITERATURA

1. D. Bobrowski, Probabilistyka w zastosowaniach technicznych, WN-T, Warszawa 1986.
2. W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t. I, PWN, Warszawa 1987.
3. M. Fisz, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1958.
4. H. Kąkol, Podstawowe pojęcia statystyki i rachunku prawdopodobieństwa. Propozycja dydaktyczna, WN WSP, Kraków 1990.
5. H. Kąkol, Elementy statystyki opisowej w szkole podstawowej, Wyd. Dla Szkoły, Bielsko-Biała 1994.
6. L. T. Kubik, Rachunek prawdopodobieństwa. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matemtycznych, PWN, Warszawa 1986.
7. E. Łakoma, Historyczny rozwój pojęcia prawdopodobieństwa, CODN, Warszawa 1992.
8. A. Płocki, Prawdopodobieństwo wokół nas, Wyd. Dla Szkoły, Bielsko-Biała, 1977.
9. A. Płocki, Propedeutyka rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1992.
10. A. Płocki, Stochastyka 1. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna jako matematyka ,,in statu nascendi'', WN WSP, Kraków 1997.
11. A. Żak, T. Zakrzewski, Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i zdrowy rozsądek, Quadrivium, Wrocław 1994.

SEMESTR 7

TREŚCI NAUCZANIA

1. Aksjomatyczna definicja przestrzeni probabilistycznej. Zmienna losowa w dowolnej przestrzeni probabilistycznej. Rozkład zmiennej losowej jako miara unormowana generowana na prostej przez funkcję mierzalną. Dystrybuanta zmiennej losowej. Wyznaczanie miary (prawdopodobieństwa) przez dystrybuantę. Zmienna losowa ciągła. Momenty zmiennej losowej ciągłej.
2. Twierdzenie Poissona. Rozkład Poissona. Przybliżenie Poissona. Rozkład prostokątny. Rozkład normalny Gaussa. Rozkład wykładniczy. Ciągi zmiennych losowych i ich rozkładów. Rodzaje zbieżności w teorii prawdopodobieństwa i związki między nimi. Zbieżność stochastyczna. Słabe prawo wielkich liczb, mocne prawa wielkich liczb (Borela, Kołmogorowa). Prawo wielkich liczb Bernoullego. Prawo wielkich liczb Chinczyna. Twierdzenie Moivre'a-Laplace'a.
3. Zmienna losowa wielowymiarowa. Rozkład wektora losowego. Rozkłady brzegowe. Rozkłady warunkowe. Zmienne losowe niezależne. Metoda transformacji. Funkcje tworzące. Proces gałązkowy. Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej. Funkcja charakterystyczna a momenty. Funkcja charakterystyczna a rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych. Ogólne pojęcie splotu miar. Transformacja Fouriera. Centralne twierdzenia graniczne.
4. Symulacje oparte na tablicach cyfr losowych. Metody Monte Carlo.
5. Łańcuch Markowa jako szczególny schemat losowy. Graf stochastyczny jako środek opisu i badania łańcucha Markowa. Wektor początkowy i macierz prawdopodobieństw przejść. Rachunek algebraiczny a rozkład stanów w chwili $n$. $*$Grafy Engla. $*$Dwuwymiarowy graf stochastyczny. Rozkład stanów w chwili $n$. Jednorodny łańcuch Markowa. Stacjonarny łańcuch Markowa. $*$Redukcje grafu stochastycznego. $*$Algorytm pochłaniania dla grafu stochastycznego o niepustym brzegu. $*$Czas błądzenia po grafie stochastycznym jako zmienna losowa. $*$Algorytm średniego czasu błądzenia po grafie.
6. Proces stochastyczny. Twierdzenie Kołmogorowa o zgodnych miarach. Wartość oczekiwana warunkowa. Martyngał.
7. Populacja. Cecha. Próbka. Statystyka. Konstrukcja rozkładu statystyki za pomocą funkcji charakterystycznej. Estymator. Estymacja. Estymator zgodny. Estymator nieobciążony. Statystyka średnia z próbki. Rozkład statystyki średnia z próbki w przypadku cechy o rozkładzie normalnym a funkcja charakterystyczna. Wariancja z próbki. Metoda momentów. Metoda największej wiarygodności. Poziom ufności. Metoda przedziałów ufności. Poziom istotności. Test istotności. Obszar krytyczny. Pearsona test zgodności. Test niezależności.
8. Dydaktyka stochastyki. Kształtowanie pojęć stochastycznych jako problem dydaktyki matematyki. Wnioskowania przez symetrie i analogie w stochastyce. Pojęcia i metody stochastyczne w nauczaniu matematyki a ilustracja procesu stosowania matematyki. Stochastyczne paradoksy i sofizmaty. Zadania stochastyczne jako nowy element kształcenia matematycznego. Znane z historii i współczesności gry losowe jako źródło idei i zadań stochastycznych. Przyrządy losujące jako generatory rozkładów prawdopodobieństwa. Kostka i moneta jako generatory klasycznych rozkładów prawdopodobieństwa na dowolnych skończonych zbiorach - losowanie próbki.

SEMESTR 7

LITERATURA

1. D. Bobrowski, Probabilistyka w zastosowaniach technicznych, WN-T, Warszawa 1986.
2. W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t. I, PWN, Warszawa 1987.
3. M. Fisz, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1958.
4. M. Iosifescu, Skończone procesy Markowa i ich zastosowanie, PWN, Warszawa 1988.
5. L. T. Kubik, Rachunek prawdopodobieństwa. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, PWN, Warszawa 1986.
6. A. Płocki, Propedeutyka rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1992.
7. A. Płocki, Stochastyka 1. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna jako matematyka in statu nascendi, WN WSP, Kraków 1997.
8. A. Płocki, Stochastyka 2. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna -- Zarys dydaktyki, WN WSP, Kraków 1997.
9. J. Stojanov (i in.), Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa 1992.

Nastepny dokument:	Analiza funkcjonalna
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument:	Topologia