Celem naucznia jest pogłębienie znajomości logiki
matematycznej i zaznajomienie z podstawami teorii zbiorów,
aby przygotować studenta do zrozumienia innych działów matematyki.
| SEMESTR 1 | TREŚCI NAUCZANIA |
- Elementy logiki matematycznej: rachunek zdań, rachunek funkcyjny.
- Intuicyjna algebra zbiorów: element zbioru, podzbiór,
rodzina zbiorów, sposoby określania zbiorów, suma i iloczyn
rodziny zbiorów, różnica zbiorów, dopełnienie, prawa
rachunku zbiorów.
- Aksjomatyka teorii zbiorów (informacyjnie). Konstrukcje liczb
naturalnych w oparciu o aksjomaty teorii mnogości (informacyjnie).
Aksjomatyka Peano liczb naturalnych, indukcja.
- Iloczyn kartezjański zbiorów, relacje dwuargumentowe, dziedzina,
przeciwdziedzina i pole relacji. Składanie relacji. Relacja odwrotna.
Relacje zwrotne, symetryczne, przeciwsymetryczne, antysymetryczne,
przechodnie i spójne.
- Relacja równoważności. Klasy abstrakcji. Relacja równoważności a
podział zbioru. Zastosowanie (m.in. w definicji
wektora swobodnego i w konstrukcjach liczb całkowitych i wymiernych).
| SEMESTR 2 | TREŚCI NAUCZANIA |
- Pojęcie funkcji jako relacji. Injekcja, surjekcja, bijekcja.
Liczba funkcji odwzorowujących zbiór skończony w zbiór
skończony i liczba permutacji zbioru skończonego. Obrazy i
przeciwobrazy, składanie funkcji i funkcja odwrotna.
- Równoliczność zbiorów, moc (liczba kardynalna) zbioru.
Zbiory skończone i nieskończone.
Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne, zbiory mocy
continuum. Elementy arytmetyki liczb kardynalnych.
Porównywanie liczb kardynalnych, twierdzenie
Cantora-Bernsteina. Twierdzenie Cantora o mocy zbioru
potęgowego. Hipoteza continuum.
- Zbiory częściowo i liniowo uporządkowane. Elementy
wyróżnione w zbiorach uporządkowanych. Kresy zbiorów.
Porządek gęsty i ciągły w zbiorach. Pojęcie zbioru dobrze
uporządkowanego. Typy porządkowe. Pojęcie liczby porządkowej.
Lemat Kuratowskiego-Zorna. Twierdzenie Zermelo o dobrym
uporządkowaniu zbiorów.
| UWAGI O REALIZACJI PROGRAMU |
Treści programowe są formalnie podzielone na elementy logiki matematycznej
i elementy teorii mnogości. Wykładowca ustala kolejność realizacji programu.
Wykłady i ćwiczenia powinny nawiązywać do materiału szkolnego z matematyki.
Realizacja elementów logiki matematycznej powinna opierać się na
praktycznej analizie rozumowań matematycznych znanych studentom z
matematyki szkolnej. Analiza logicznej struktury języka
matematycznego powinna być jednym z najważniejszych
zagadnień realizowanych w trakcie nauki elementów logiki
matematycznej.
- D. Brydak, E. Turdza, Zbiór zadań z teorii mnogości i
teorii przestrzeni topologicznych i metrycznych, WN WSP, Kraków 1974.
- A. Chronowski, Elementy teorii mnogości, WN WSP, Kraków 1999.
- A. Chronowski, Zadania z elementów teorii mnogości i logiki
matematycznej, Wydawnictwo ,,Dla szkoły'', Wilkowice 1999.
- J. Górowski, A. Łomnicki, Arytmetyka i algebra, cz.
I, Bielsko-Biała 1993.
- K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości, PWN,
Warszawa 1978.
- K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii. PWN,Warszawa 1972
- A. Łomnicki, G. Treliński, B. Wełna, Zbiór zadań ze wstępu
do matematyki, WN WSP, Kraków 1986.
- M. Malec, Elementarny wstęp do teorii relacji, cz. 1, Wydawnictwa
AGH, Kraków 1995.
- W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w
zadaniach, PWN, Warszawa 1975.
- Z. Moszner, Elementy teorii mnogości i topologii, WN WSP,
Kraków 1973.
- H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN, Warszawa 1999.
- S. Turnau, Logiczny wstęp do matematyki, WN WSP, Kraków 1984.
- A. Wojciechowska, Elementy logiki i teorii
mnogości, Warszawa 1979.
Instytut Matematyki Akademii
Pedagogicznej w Krakowie,
15.06.2003
