Nastepny dokument:	Wstęp do matematyki
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument:	Geometria elementarna

Geometria

CELE NAUCZANIA

Wykład winien dać pełne teoretyczne podstawy głównych typów geometrii elementarnych -- euklidesowej, Łobaczewskiego i rzutowej -- jako teorii aksjomatycznych, oraz podstawy klasycznej geometrii różniczkowej.

SEMESTR 6

TREŚCI NAUCZANIA

1. Przekształcenia geometryczne. Klasyfikacja izometrii ze względu na przestrzeń punktów stałych przekształcenia oraz ze względu na ilość złożeń symetrii hiperpłaszczyznowych. Podstawowe typy izometrii.
   Ruchy jako przekształcenia nie zmieniające orientacji. Reprezentacje analityczne przekształceń. Izometrie własne figur płaskich i przestrzennych. Skończone grupy izometrii.
2. Konstrukcje geometryczne: Zadanie konstrukcyjne i jego rozwiązanie (analiza, opis konstrukcji, dowód poprawności, dyskusja).
   Konstruowalność i konstrukcje wielokątów foremnych.
   Algebraiczna analiza konstruowalności dla niektórych zadań, np. trysekcja kąta, konstrukcje w trójkącie. Konstrukcje środkami nieklasycznymi.
3. Wybrane fakty z historii geometrii: Archimedes, Euklides -- dzieje V postulatu. Powstanie geometrii nieeuklidesowych.

SEMESTR 6

LITERATURA

1. H. S. M. Coxeter, Wstęp do geometrii dawnej i nowej, PWN, Warszawa 1967.
2. M. Kordos, W. Szczerba, Geometria dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1976.
3. Z. Krygowska, Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie, PWN, Warszawa 1958.
4. S. Kulczycki, Geometria nieeuklidesowa, PWN, Warszawa 1956.
5. M. Stark, Geometria analityczna ze wstępem do geometrii wielowymiarowej, PWN, Warszawa 1974.

SEMESTR 7

TREŚCI NAUCZANIA

1. Ogólne uwagi o teorii aksjomatycznej: niesprzeczność, zupełność, kategoryczność teorii, niezależność aksjomatów. Informacja o aksjomatyzacji geometrii (rys historyczny). Problemy z aksjomatyzacją: luki w ,,Elementach'', aksjomat Pascha, V postulat.
2. Aksjomatyka Hilberta geometrii euklidesowej. Aksjomatyczne podstawy geometrii szkolnej.
3. Narodziny geometrii nieeuklidesowej, twierdzenia równoważne z aksjomatem o równoległych. Rozmaite modele geometrii Bolyaia-Łobaczewskiego: model Beltramiego-Kleina, modele Poincarégo -- wzajemne związki i dowodzenie elementarnych twierdzeń w oparciu o modele (w szczególności faktów równoważnych z zaprzeczeniem V postulatu).
4. Geometria rzutowa: prosta aksjomatyka płaszczyzny i przestrzeni rzutowej. Modele geometrii rzutowej: model wektorowy (pękowy), afiniczny, analityczny. Podstawowe twierdzenia: twierdzenie Desarguesa i jego wykorzystanie do konstrukcji geometrycznych. Zasada dualności. Czworokąt zupełny, czwórki harmoniczne, konstrukcje. Współrzędne jednorodne, przekształcenia rzutowe. Krzywe stożkowe w ujęciu rzutowym, twierdzenie Pascala. Informacja o modelowaniu rozmaitych geometrii na gruncie geometrii rzutowej.
5. Informacja o programie Kleina. Typowe niezmienniki w poznanych geometriach elementarnych.

SEMESTR 7

LITERATURA

1. K. Borsuk, W. Szmielew, Podstawy geometrii, PWN, Warszawa 1972.
2. S. Fudali, Geometria -- skrypt Uniwersytetu Szczecińskiego, Szczecin 1989.

SEMESTR 8

TREŚCI NAUCZANIA

1. Krzywe. Pojęcie krzywej (na płaszczyźnie i w przestrzeni). Parametryzacja dowolna i naturalna krzywej -- długość łuku. Sposoby zadawania krzywych (jawny, parametryczny, uwikłany). Przykłady. Krzywizna krzywej -- interpretacja geometryczna -- okrąg ściśle styczny, promień krzywizny. Trójścian Freneta, wzory Freneta. Skręcenie -- interpretacja geometryczna, krzywa o zerowym skręceniu.
2. Powierzchnie. Pojęcie powierzchni jako rozmaitości dwuwymiarowych. Przykłady: sfera, pseudosfera, torus, powierzchnie obrotowe i prostokreślne.
   Przedstawienie analityczne powierzchni. Pola wektorowe i krzywe na powierzchni. Przestrzeń styczna i wektor normalny (orientacja). Pierwsza forma fundamentalna. Odwzorowanie Gaussa. Druga forma fundamentalna. Równanie Gaussa, symbole Christoffela.
   Odwzorowania izometryczne powierzchni. Powierzchnie rozwijalne.
   Krzywizna normalna i geodezyjna -- intuicje i przykłady. Linie geodezyjne, asymptotyczne i krzywiznowe. Krzywizna Gaussa, krzywizny główne. Wzór Gaussa-Bonneta.
   Wykorzystanie powierzchni jako modeli geometrii nieeuklidesowych.

SEMESTR 8

LITERATURA

1. B. Gdowski, Elementy geometrii różniczkowej z zadaniami, PWN, Warszawa 1982.
2. A. Goetz, Geometria różniczkowa, PWN, Warszawa 1965.

UWAGI O REALIZACJI PROGRAMU (PRZEDMIOTÓW GEOMETRYCZNYCH)

1. Program nie powinien być interpretowany w postaci wykładu samej abstrakcyjnej teorii. Należy operować też przykładami i przedstawieniem na wpół intuicyjnym. Wynikiem nauczania powinno być zrozumienie istoty pojęć, problemów i metod, nie zaś samo opanowanie teorii w formalnie doskonałej postaci.
2. Wymieniona w programie tematyka może być ustawiona w inny sposób. Na przykład geometria rzutowa może być umieszczona przed ogólnymi informacjami o aksjomatyce; itp.
3. Wykładowca powinien robić sporo dygresji historycznych i dobierać przykłady także pod kątem szkoły. Wiele zagadnień występujących w programie można bowiem, po odpowiednim zaadaptowaniu, przedstawić uczniom szkoły średniej.
4. Przed wykładowcą stoi trudne zadanie zachęcenia studentów do geometrii, pokazania, że geometria może być interesująca; bowiem przekażą oni w przyszłości uczniom taki stosunek do geometrii, jaki ukształtują sobie na studiach.

Nastepny dokument:	Wstęp do matematyki
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument:	Geometria elementarna