Nastepny dokument:	Algebra
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument:	Analiza zespolona

Algebra liniowa i geometria

CELE NAUCZANIA

Celem nauczania jest zaznajomienie studenta z podstawami algebry liniowej i nauczenie go korzystania z nich.

SEMESTR 1

TREŚCI NAUCZANIA

1. Grupoid, półgrupa, grupa, grupy permutacji, homomorfizmy struktur jednodziałaniowych, pierścień, ciało, ciało liczb zespolonych.
2. Przestrzeń liniowa, podprzestrzeń, przestrzeń ilorazowa, liniowa niezależność, baza, współrzędne, twierdzenie Steinitza, wymiar, suma prosta.
3. Przekształcenia liniowe, rząd, jądro, izomorfizmy przestrzeni liniowych skończenie wymiarowych, algebra liniowa.
4. Macierze, działania na macierzach, algebra macierzy, reprezentcja przekształcenia liniowego przy pomocy macierzy.
5. Wyznaczniki, rząd macierzy, macierz odwrotna, rozwiązywanie układów równań, interpretacja geometryczna.

SEMESTR 2

TREŚCI NAUCZANIA

1. Zmiana bazy, macierz przejścia, współrzędne wektora i macierz odwzorowania liniowego po zmianie bazy.
2. Wartości własne i wektory własne endomorfizmów, diagonalizacja macierzy.
3. Przekształcenia wieloliniowe i ich reprezentacja macierzowa w różnych bazach, formy wieloliniowe symetryczne i skośnie symetryczne.
4. Formy kwadratowe, ich reprezentacja przy pomocy macierzy symetrycznych, postać kanoniczna, formy określone dodatnio i ujemnie.
5. Iloczyn skalarny, przestrzenie liniowe euklidesowe, przestrzeń unormowana, bazy ortonormalne, ortogonalizacja Schmidta, postać iloczynu skalarnego w bazie ortonormalnej, macierz Grama.
6. Podprzestrzeń ortogonalna, rzut prostopadły.
7. Przekształcenia ortogonalne i podobieństwa liniowych przestrzeni euklidesowych, macierzowe reprezentacje przekształceń ortogonalnych, własności macierzy ortogonalnych.
8. Endomorfizmy sprzężone i samosprzężone i ich reprezentacje macierzowe, własności macierzy symetrycznych.
9. Orientacja przestrzeni, kąty zorientowane i niezorientowane w przestrzeni liniowej euklidesowej. Iloczyn wektorowy w przestrzeni trójwymiarowej.

LITERATURA

1. A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.
2. J. Gancarzewicz, Algebra liniowa z elementami geometrii [skrypt UJ], Kraków 1991.
3. B. Gleichgewicht, Algebra, Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, PWN, Warszawa 1983.
4. A.I. Kostrykin, J.I. Manin, Algebra liniowa i geometria, Warszawa 1993.
5. A. Łomnicki, M. Magdoń, M. Żurek-Etgens, Podstawy algebry liniowej w zadaniach, WN WSP, Kraków 1998.
6. M. Moszyńska, Geometria z algebrą liniową, PWN, Warszawa 1989.
7. S. Przybyło, A. Szlachtowski, Algebra i geometria afiniczna w zadaniach, WN-T, Warszawa 1983.

CELE NAUCZANIA

Celem wykładu jest zapoznanie z algebraizacją geometrii euklidesowej i opanowanie metod analitycznych w rozwiązywaniu problemów geometrycznych.

SEMESTR 3

TREŚCI NAUCZANIA

1. Przestrzenie afiniczne i euklidesowe.
   Pojęcia przestrzeni afinicznej i euklidesowej $n$-wymiarowej, przestrzenie euklidesowe $E^3$ i $E^2$. Wektory zaczepione i swobodne.
   Podprzestrzenie afiniczne w przestrzeni afinicznej, podprzestrzeń generowana przez zbiór, afiniczna niezależność punktów, układy bazowe przestrzeni afinicznej, współrzędne punktów, kombinacja barycentryczna punktów, zbiory wypukłe i sympleksy. Prostokątne układy współrzędnych w $E^3$.
   Przekształcenia afiniczne i izometrie, ich reprezentacje we współrzędnych. Wybrane twierdzenia z geometrii elementarnej. Geometria trójkąta
2. Równania płaszczyzny: wektorowe, parametryczne, zwyczajne. Wzajemne położenie płaszczyzn. Kąt między płaszczyznami. Pęk płaszczyzn.
   Równania prostej: wektorowe, parametryczne, krawędziowe. Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn, kąt między prostymi, kąt między prostą a płaszczyzną. Odległość płaszczyzn i prostych równoległych, punktu od prostej i od płaszczyzny, prostej od płaszczyzny, odległość prostych skośnych. Objętości sympleksów i wielościanów.
3. Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego
   Elipsa, hiperbola, parabola -- podstawowe własności. Środek krzywej, styczna, biegunowa. Czwórka harmoniczna punktów.
   Stożek, walec, hiperboloidy, paraboloidy, elipsoidy -- podstawowe własności, przekroje płaskie. Powierzchnie prostokreślne, powierzchnie obrotowe, powierzchnie powstałe przez przesuwanie krzywej po krzywej.
4. Pojęcie i podstawowe własności przestrzeni Minkowskiego (czasoprzestrzeń) -- informacja.

LITERATURA

1. S. Bachwałow, P.S. Modenow, A.S. Parchomienko, Zbiór zadań z geometrii analitycznej, PWN, Warszawa 1961.
2. F. Leja, Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1954.
3. M. Moszyńska, J. Święcicka, Geometria z algebrą liniową, PWN, Warszawa 1987, B.M. t.65.
4. S. Przybyło, A. Szlachtowski, Algebra i geometria afiniczna w zadaniach, WN-T, Warszawa 1983.
5. K. Sieklucki, Geometria z topologią, cz. I -- Geometria, PWN, Warszawa 1978, B.M. t.53.
6. M. Stark, Geometria analityczna ze wstępem do geometrii wielowymiarowej, PWN, Warszawa 1974.
7. D. Witczyńska, K. Witczyński, Wybrane zagadnienia z algebry liniowej i geometrii, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1998.
8. T. Trajdos, Matematyka, cz. III -- Podręczniki Akademickie Elektronika, Infromatyka, Telekomunikacja, WN-T, Warszawa 1977.

Nastepny dokument:	Algebra
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument:	Analiza zespolona