Nastepny dokument:	Topologia
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument:	Algebra liniowa i geometria

Algebra

CELE NAUCZANIA

Celem nauczania jest przedstawienie podstawowych pojęć i rezultatów algebry w stopniu wystarczającym do algebraicznego opisu fragmentów matematyki szkolnej i teorii matematycznych poznawanych w czasie studiów.

SEMESTR 4

TREŚCI NAUCZANIA

1. Grupy, podgrupy. Twierdzenia Lagrange'a i Cayley'a. Dzielniki normalne, kongruencje, grupy ilorazowe. Podstawowe twierdzenie o homomorfiźmie grup. Grupy cykliczne, grupy skończenie generowane. Grupy abelowe, twierdzenie o strukturze grup abelowych skończenie generowanych. Suma prosta grup. Grupy $\mbox{$\mathbb{Z}$}_{p}$. Komutanty grup. Grupy rozwiązalne. Grupy proste. Grupy symetryczne ${\bf S_{m}}$ i grupy alternujące. Rozwiązalność grup ${\bf S_{m}}$.
2. Ideały, kongruencje, pierścienie ilorazowe. Homomorfizmy pierścieni i ich jądra. Podstawowe twierdzenie o homomorfiźmie pierścieni. Ideały pierwsze i maksymalne. Ciało ułamków pierścienia całkowitego. Liczby naturalne, całkowite, wymierne. Charakterystyka pierścienia. Pierścienie wielomianów, macierzy i pierścienie szeregów potęgowych. Wielomiany symetryczne.
3. Relacja podzielności, elementy stowarzyszone, elementy nierozkładalne i pierwsze. Pierścienie z rozkładem i z jednoznacznością rozkładu. Największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. Ideały główne, pierścienie główne. Pierścienie noetherowskie, pierścienie Euklidesa. Teoria podzielności w pierścieniu wielomianów. Twierdzenie Gaussa, wymierne pierwiastki wielomianu, kryterium Eisensteina. Pierścień $\mbox{$\mathbb{Z}$}[\sqrt{d}]$.

SEMESTR 5

TREŚCI NAUCZANIA

1. Ciała skończone. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia proste, skończone i algebraiczne. Ciało liczb rzeczywistych i ciało liczb zespolonych. Domknięcie algebraiczne. Ciało rozkładu wielomianów. Element pierwotny rozszerzenia. Automorfizmy ciał. Grupa Galois, rozszerzenie Galois. Zasadnicze twierdzenie algebry.
2. Rozszerzenia pierwiastnikowe i konstruowalne. Ciało liczb konstruowalnych. Rozwiązywanie równań przez pierwiastniki i zastosowanie do konstrukcji geometrycznych.
3. Elementy teorii liczb (kongruencje i ich rozwiązywanie, cechy podzielności, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, przykłady zastosowań teorii pierścieni z jednoznacznością rozkładu do rozwiązywania równań diofantycznych).
4. Grupy, pierścienie i ciała uporządkowane, własność Archimedesa. Zastosowania do struktur liczbowych.

LITERATURA

1. A. Białynicki-Birula, Algebra, PWN, Warszawa 1971.
2. A. Białynicki-Birula, Zarys algebry, PWN, Warszawa 1987.
3. J. Browkin, Teoria ciał, PWN, Warszawa 1978.
4. M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, Warszawa 1978.
5. A. Chronowski, Podstawy arytmetyki szkolnej cz. 1 i 2, Błękitna Matematyka, Wydawnictwo ,,Kleks'', Bielsko-Biała 1999.
6. B. Gleichgewicht, Algebra, Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, PWN, Warszawa 1983.
7. N. Koblitz, Wykłady z teorii liczb i kryptografiia, WNT, Warszawa 1995.
8. A.I. Kostrykin, Zbiór zadań z algebry, Warszawa 1995.
9. S. Lang, Algebra, PWN, Warszawa 1983.
10. A. Łomnicki, M. Magdoń, M. Żurek-Etgens, Grupy, pierścienie, ciała w zadaniach, WN WSP, Kraków 1991.
11. Z. Opial, Algebra wyższa, PWN, Warszawa 1974.
12. J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa 2000.
13. K. Szymiczek, Zbiór zadań z teorii grup, PWN, Warszawa 1989.

Nastepny dokument:	Topologia
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument:	Algebra liniowa i geometria