Nastepny dokument:	Topologia
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument:	Algebra liniowa i geometria

Algebra

CELE NAUCZANIA

Celem nauczania jest przedstawienie podstawowych pojęć i rezultatów algebry w stopniu wystarczającym do algebraicznego opisu fragmentów matematyki szkolnej i teorii matematycznych poznawanych w czasie studiów.

SEMESTR 4

TREŚCI NAUCZANIA

Grupy i ich homomorfizmy, podgrupy. Grupy przekształceń, grupy symetryczne i alternujące. Twierdzenie Lagrange'a i twierdzenie Cayley'a. Dzielniki normalne, kongruencje, grupy ilorazowe. Grupy cykliczne, abelowe, rozwiązalne, proste. Twierdzenie o strukturze grup abelowych skończenie generowanych. Suma prosta grup. Komutanty grup. Rozwiązalność grup $S_{m}$.
Pierścienie i ich homomorfizmy, podpierścienie, ideały, kongruencje, pierścienie ilorazowe. Podstawowe twierdzenie o homomorfiźmie pierścieni. Ideały pierwsze i maksymalne. Pierścienie wielomianów, macierzy, szeregów potęgowych. Wielomiany symetryczne. Pierścień całkowity, ciało ułamków pierścienia całkowitego.
Relacja dzielenia w pierścieniu całkowitym, elementy stowarzyszone, nierozkładalne, pierwsze. Pierścienie z rozkładem i z jednoznacznością rozkładu. Największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. Ideały główne, pierścienie główne. Pierścienie Euklidesa.
Teoria podzielności w pierścieniu wielomianów. Twierdzenie Gaussa, wymierne pierwiastki wielomianu, kryterium Eisensteina.

SEMESTR 5

TREŚCI NAUCZANIA

Ciała skończone. Charakterystyka ciała. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia proste, skończone i algebraiczne ciał. Ciała liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych.
Ciało liczb algebraicznych. Ciało rozkładu wielomianu. Element pierwotny rozszerzenia. Automorfizmy ciał. Grupa Galois, rozszerzenie Galois. Zasadnicze twierdzenie algebry. Rozszerzenia pierwiastnikowe i konstruowalne. Ciało liczb konstruowalnych.
Elementy teorii liczb (małe twierdzenie Fermata, przykłady zastosowań teorii pierścieni z jednoznacznym rozkładem do rozwiązywania równań diofantycznych, pierścienie liczb całkowitych w rozszerzeniach kwadratowych ciała liczb wymiernych. Kongruencje i ich rozwiązywanie, cechy podzielności.
Grupy, pierścienie i ciała uporządkowane. Własność Archimedesa.

LITERATURA

1. A. Białynicki-Birula, Zarys algebry, PWN, Warszawa 1987.
2. J. Browkin, Teoria ciał, PWN, Warszawa 1978.
3. M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, Warszawa 1978.
4. A. Chronowski, Podstawy arytmetyki szkolnej cz. 1 i 2, Błękitna Matematyka, Wydawnictwo ,,Kleks'', Bielsko-Biała 1999.
5. B. Gleichgewicht, Algebra, Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, PWN, Warszawa 1983.
6. N. Koblitz, Wykłady z teorii liczb i kryptografiia, WNT, Warszawa 1995.
7. A. Łomnicki, M. Magdoń, M. Żurek-Etgens, Grupy, pierścienie, ciała w zadaniach, WN WSP, Kraków 1994.
8. Z. Opial, Algebra wyższa, PWN, Warszawa 1974.
9. J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa 2000.
10. K. Szymiczek, Zbiór zadań z teorii grup, PWN, Warszawa 1989.

Nastepny dokument:	Topologia
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument:	Algebra liniowa i geometria