Nastepny dokument:	Analiza funkcjonalna
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument:	Topologia

Rachunek prawdopodobieństwa

CELE NAUCZANIA

1. Ukazanie pojęć i metod stochastycznych (wnioskowań statystycznych) jako specyficznych matematycznych narzędzi opisu i badania rzeczywistości. Pokazanie co, jak i dlaczego matematyzuje się w rachunku prawdopodobieństwa. Ukazanie osobliwych obiektów i środków matematyzacji, a także motywacji dla konstrukcji przestrzeni probabilistycznych jako modeli pewnych realnych sytuacji. Uznanie tego celu za podstawowy wynika z faktu, że kurs adresowany jest do przyszłego nauczyciela matematyki.
2. Prezentacja rachunku prawdopodobieństwa jako teorii dedukcyjnej (ukazywanie nie tyle gotowej teorii aksjomatycznej ile procesu aksjomatyzacji).
3. Kształtowanie intuicji stochastycznych jako ważnego dziś aspektu matematycznej kultury poprzez odpowiednią organizację procesu kształtowania pojęć, poprzez odkrywanie twierdzeń a także metod wnioskowania w trakcie rozwiązywania zadań powstałych na tle specyficznych sytuacji problemowych.
4. Przygotowanie studentów do nauczania rachunku prawdopodobieństwa wraz z elementami statystyki matematycznej poprzez prezentację stochastyki nie jako gotowej teorii, ale poprzez jej tworzenie w trakcie rozwiązywania problemów.
5. Ukazanie procesu stosowania matematyki (procesy decyzyjne w sytuacjach ryzyka i ich stochastyczne modele, weryfikacja hipotez, prawdopodobieństwo jako ocena ryzyka i decyzje wynikające z jego wielkości, oceny oczekiwanych zysków i strat w grach hazardowych, estymacja i jej wiarygodność, metody Monte Carlo).

   Materiał obejmuje treści zaliczane do stochastyki rozumianej jako fuzja elementów rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, a także elementów kombinatoryki i statystyki opisowej.

SEMESTR 5

TREŚCI NAUCZANIA

Wprowadzenie intuicyjne (częstościowe) pojęcia prawdopodobieństwa

Przestrzeń prawdopodobieństwa (przestrzeń probabilistyczna) - od przykładów elementarnych do ogólnego pojęcia. Przestrzeń probabilistyczna jako model doświadczenia losowego. Drzewo stochastyczne jako środek konstrukcji przestrzeni probabilistycznej. Drzewo a podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Klasyczne rozkłady prawdopodobieństwa na zbiorach skończonych. Losowanie próbki. Symulacja stochastyczna. Symulacja oparta na tablicach cyfr losowych. Algebra zdarzeń. Układ zupełny zdarzeń. Definicja prawdopodobieństwa w dyskretnej przestrzeni probabilistycznej. Własności prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo klasyczne.

,,Częstościowa" interpretacja miarowego pojęcia prawdopodobieństwa. Zdarzenia praktycznie niemożliwe. Prawdopodobieństwo jako ocena ryzyka i narzędzie weryfikacji hipotez. Różne aspekty prawdopodobieństwa (klasyczny, miarowy, statystyczny, subiektywny, idea stochastycznego grafu przepływu).

Zagadnienia dydaktyki rachunku prawdopodobieństwa. Kształtowanie pojęć i intuicji stochastycznych jako problem dydaktyki matematyki. Gra losowa jako środek matematycznej aktywizacji ucznia. Gra strategiczno-losowa a stochastyczny model procesu podejmowania decyzji w warunkach ryzyka. Rysunek jako narzędzie matematyzacji i argumentacji w rachunku prawdopodobieństwa. Dane statystyczne a refleksja a posteriori (wyjaśnianie na gruncie rachunku prawdopodobieństwa pewnych zaskakujących faktów ujawnionych przez dane statystyczne). Przyrządy losujące jako generatory rozkładów prawdopodobieństwa i jako nośniki ogólnomatematycznych struktur.

Wnioskowania przez symetrie i analogie w stochastyce. Pojęcia i metody stochastyczne w nauczaniu matematyki a ilustracja procesu stosowania matematyki. Stochastyczne paradoksy i sofizmaty. Znane z historii i współczesności gry losowe jako źródło idei i zadań stochastycznych.

SEMESTR 6

TREŚCI NAUCZANIA

Aksjomatyczne ujęcie rachunku prawdopodobieństwa. Aksjomatyczna definicja przestrzeni probabilistycznej. Geometryczna przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo geometryczne.

Prawdopodobieństwo warunkowe, Wzór na prawdopodobieństwie całkowite, wzór Bayesa. Niezależność zdarzeń, niezależność $\sigma$-ciał, przestrzenie produktowe jako przestrzenie probabilistyczne dla serii doświadczeń niezależnych. Schemat Bernoulliego. Czekanie na pierwszy sukces. Schemat Pascala. Schematy urnowe. Graf stochastyczny schematu losowego.

Zmienne losowe jedno i wielowymiarowe oraz ich rozkłady. Dystrybuanta. Wyznaczenie miary (prawdopodobieństwa) przez dystrybuantę. Rozkłady dyskretne. Rozkłady ciągłe. Niezależność zmiennych losowych. Rozkład dwumianowy. Rozkład czasu czekania na pierwszy sukces jako rozkład geometryczny. Rozkład Pascala. Zmienna losowa wielowymiarowa (wektor losowy). Rozkład wektora losowego. Rozkłady brzegowe. Rozkłady warunkowe.

Wartość oczekiwana zmiennej losowej i inne parametry rozkładu zmiennej losowej (wariancja, macierz, kowariancja).

Nierówność Czebyszewa. Ciągi zmiennych losowych i ich rozkładów.

Rodzaje zbieżności w teorii prawdopodobieństwa, związki między nimi.

Słabe prawo wielkich liczb, mocne prawa wielkich liczb (Borela, Kołgomorowa).

SEMESTR 7

TREŚCI NAUCZANIA

Dodawanie (sumy) niezależnych zmiennych losowych i ich rozkłady. Zmienna losowa o rozkładzie dwumianowym jako suma niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie zero-jedynkowym.

Metoda transformacji. Funkcje tworzące. Proces gałązkowy. Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej. Ogólne pojęcie splotu miar, transformacja Fouriera.

Centralne twierdzenie graniczne.

Pojęcie procesu stochastycznego. Przykłady procesów stochastycznych. Jednorodny łańcuch Markowa. Grafy Engla.

Twierdzenie Kołmogorowa o zgodnych miarach.

Pojęcie warunkowej wartości oczekiwanej i martyngału.

Informacja o elementach wnioskowania statystycznego (zagadnienia estymacji, testowanie hipotez. Populacja. Cecha. Próbka jako dane statystyczne. Gromadzenie i opracowywanie próbki. Elementy statystyki opisowej. Próbka losowa. Estymator. Średnia z próbki jako estymator. Estymator zgodny. Estymacja. Metoda największej wiarygodności na przykładzie szacowania nieznanej liczby czarnych kul w urnie (liczby wadliwych sztuk w partii towaru). Proste przykłady weryfikacji hipotez. Rozstrzyganie środkami matematycznymi czy dany fakt jest rezultatem wiedzy, talentu, czy też przypadku (np. zgadywania).

LITERATURA

1. D. Bobrowski, Probabilistyka w zastosowaniach technicznych, WN-T, Warszawa 1986.
2. W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t. I, PWN, Warszawa 1987.
3. M. Fisz, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1958.
4. M.Iosifescu, Skończone procesy Markowa i ich zastosowanie, PWN, Warszawa 1988.
5. H. Kąkol, Podstawowe pojęcia statystyki i rachunku prawdopodobieństwa. Propozycja dydaktyczna, WN WSP, Kraków 1990.
6. H. Kąkol, Elementy statystyki opisowej w szkole podstawowej, Wyd. Dla Szkoły, Bielsko-Biała 1994.
7. L. T. Kubik, Rachunek prawdopodobieństwa. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matemtycznych, PWN, Warszawa 1986.
8. E. Łakoma, Historyczny rozwój pojęcia prawdopodobieństwa, CODN, Warszawa 1992.
9. A. Płocki, Prawdopodobieństwo wokół nas. Rachunek prawdopodobieństwa w zadaniach i problemach, Wydawnictwo DLA SZKOŁY, Wilkowice 2004.
10. A. Płocki, Propedeutyka rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1992.
11. A. Płocki, Stochastyka 1. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna jako matematyka ,,in statu nascendi'', WN WSP, Kraków 1997.
12. A. Płocki, Stochastyka 2. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna - zarys dydaktyki, Wyd. Naukowe WSP, Kraków 1997.
13. J. Stojanow (i in.), Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa 1992.
14. A. Żak, T. Zakrzewski, Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i zdrowy rozsądek, Quadrivium, Wrocław 1994.

Nastepny dokument:	Analiza funkcjonalna
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument:	Topologia