Poznanie przez studentów pojęć i twierdzeń bezpośrednio
związanych z materiałem nauczania szkoły podstawowej i gimnazjum
w różnych ujęciach. Oswajanie studentów z tworzeniem,
opisywaniem, definiowaniem i uogólnianiem pojęć; dowodzeniem i
uogólnieniem twierdzeń oraz stawianiem i weryfikowaniem hipotez.
Informowanie o najważniejszych faktach z historii geometrii.
| SEMESTR 1 | TREŚCI NAUCZANIA |
- Przestrzeń euklidesowa i podstawowe pojęcia geometrii
euklidesowej.
Figury płaskie i przestrzenne i ich własności.
Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie i w przestrzeni,
wzajemne położenie prostej i płaszczyzny. Równoległość dwóch
prostych, prostej i płaszczyzny, dwóch płaszczyzn.
Naturalne uporządkowanie prostej; odcinek, półprosta,
półpłaszczyna, półprzestrzeń. Figury wypukłe.
Geometryczna odległość punktów; kula, sfera, figura ograniczona,
nieograniczona, figura otwarta, figura domknięta, brzeg figury.
Wzajemne położenie prostej i okręgu: sieczna i styczna.
Twierdzenie o odcinkach stycznych. Wzajemne położenie dwóch okręgów.
Prostopadłość dwóch prostych, prostej i płaszczyzny, dwóch
płaszczyzn. Odległość figur geometrycznych.
Łamana, łamana zwyczajna, łamana zamknięta, wielokąt.
Kąt płaski, kąt dwuścienny, kąt wielościenny. Kąty w okręgu. Kąt
wewnętrzny i kąt zewnętrzny wielokąta. Twierdzenie sinusów.
Twierdzenie o kącie dopisanym.
Relacja nierówności w zbiorze odcinków i kątów. Dodawanie odcinków
i kątów.
Trójkąt. Twierdzenia o: symetralnych, dwusiecznych, wysokościach i
środkowych. Prosta Eulera, okrąg dziewięciu
punktów.
Czworokąt. Czworokąt wypukły i czworokąt wklęsły. Twierdzenie o
czworokącie wpisanym w okrąg, twierdzenie o czworokącie opisanym
na okręgu. Twierdzenie Ptolemeusza.
Wielokąty foremne.
Wielościany. Twierdzenie Eulera o wielościanach wypukłych.
Wielościany foremne.
Bryły i powierzchnie obrotowe. Powierzchnie prostokreślne.
- Przekształcenia geometryczne.
Izometria płaszczyzny i przestrzeni euklidesowej; podstawowe
własności i niezmienniki izometrii.
Symetrie: osiowa (na płaszczyźnie i w przestrzeni), płaszczyznowa,
środkowa. Niezmienniki symetrii.
Generowanie izometrii symetriami.
Oś symetrii, środek symetrii, płaszczyzna symetrii figury
geometrycznej.
Wektor zaczepiony i wektor swobodny. Translacja.
Kąt skierowany i kąt skierowany swobodny. Orientacja kąta i
płaszczyzny. Obrót wokół punktu (na płaszczyźnie i w
przestrzeni).
Symetria osiowa z poślizgiem, symetria płaszczyznowa z poślizgiem,
obrót z prostopadłym odbiciem, ruch śrubowy.
Cechy przystawania figur (w szczególności cechy przystawania dwóch
trójkątów).
Izometrie parzyste i izometrie nieparzyste. Izometrie i ich
klasyfikacja ze względu na przestrzeń punktów stałych oraz
liczbę złożeń symetrii hiperpłaszczyznowych.
Podstawowe typy izometrii. Ruchy jako przekształcenia
zachowujące orientację.
| SEMESTR 2 | TREŚCI NAUCZANIA |
- Przekształcenia geometryczne (cd.)
Podobieństwo, podstawowe własności i niezmienniki
podobieństwa.
Jednokładność, podstawowe własności i niezmienniki
jednokładności.
Rozkład podobieństwa na izometrię i jednokładność.
Figury podobne i jednokładne, cechy podobieństwa figur (w
szczególności cechy podobieństwa dwóch trójkątów).
Związki miarowe w trójkącie prostokątnym, twierdzenie Pitagorasa,
twierdzenie odwrotne, uogólnione twierdzenie Pitagorasa.
Twierdzenie cosinusów. Potęga punktu względem okręgu, prosta potęgowa.
Rzut równoległy na prostą i na płaszczyznę. Twierdzenie Talesa.
Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta, twierdzenie
o dwusiecznej kąta zewnętrznego trójkąta. Twierdzenie Cevy,
twierdzenie Menelaosa.
- Konstrukcje geometryczne.
Zadanie konstrukcyjne i jego rozwiązanie (analiza konstrukcji,
opis konstrukcji, dowód poprawności, liczba rozwiązań wraz z
dyskusją istnienia rozwiązania).
Podstawowe konstrukcje geometryczne (symetralna, dwusieczna,
prosta styczna do okręgu, proste styczne do dwóch okręgów),
konstrukcje odcinkowe związane z twierdzeniem Talesa, konstrukcja
średniej geometrycznej, złoty podział odcinka. Zastosowanie
przekształceń geometrycznych do rozwiązywania zadań
konstrukcyjnych. Konstruowalność w ujęciu algebraicznym.
Przykłady konstrukcji niewykonalnych środkami klasycznymi (np.
podwojenie sześcianu, kwadratura koła, rektyfikacja okręgu,
trysekcja pewnych kątów).
Konstruowalność wielokątów foremnych. Konstrukcje wybranych
wielokątów foremnych.
Konstrukcje nieklasycznymi środkami: konstrukcje
Mohra-Mascheroniego, konstrukcje steinerowskie.
- M. Bryński, M. Włodarski, Konstrukcje geometryczne, WSiP, Warszawa 1979.
- M. Ciosek, M. Ćwik, B. Pawlik, Materiały do studiowania geometrii
elementarnej, cz. I, Wydawnictwo Naukowe AP, Kraków 2002.
- H. S. M. Coxeter, Wstęp do geometrii dawnej i nowej, PWN, Warszawa 1967.
- R. Doman, Wykłady z geometrii elementarnej, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2001.
- Z. Krygowska, Geometria płaszczyzny, cz. I i cz. II, PZWS, Warszawa 1967.
- Z. Krygowska, Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie, PWN, Warszawa 1958.
- M. Małek, Geometria. Zbiór zadań, GWO, Gdańsk 1994.
- S. Serafin, G. Treliński, Geometria. Zbiór zadań z matematyki
elementarnej, PWN, Warszawa 1976.
Instytut Matematyki Akademii
Pedagogicznej w Krakowie,
1.10.2005
