Wykład powinien dać pełne podstawy teoretyczne głównych typów
geometrii elementarnej: euklidesowej, Łobaczewskiego i rzutowej
jako teorii aksjomatycznych oraz podstawy geometrii
różniczkowej.
| SEMESTR 7 | TREŚCI NAUCZANIA |
- Ogólne uwagi o teorii aksjomatycznej: niesprzeczność,
zupełność, kategoryczność, niezależność aksjomatów. Informacja o
aksjomatyzacji geometrii euklidesowej, rys historyczny.
Problemy z aksjomatyzacją, luki w Elementach, aksjomat Pascha, dzieje
aksjomatu Euklidesa.
- Aksjomatyka Hilberta geometrii euklidesowej, tezy
równoważne z aksjomatem Euklidesa. Informacje o geometriach
nieeuklidesowych. Modele geometrii Bolyaia-Łobaczewskiego: Beltramiego-Kleina,
Poincare'go (w kole otwartym, otwartej półpłaszczyźnie i na
półsferze); wzajemne związki. Dowodzenie twierdzeń w oparciu o
modele, w szczególności tez równoważnych z zaprzeczeniem
aksjomatu Euklidesa.
- Geometria rzutowa; aksjomatyka płaszczyzny i
przestrzeni.
Modele geometrii rzutowej: afiniczny, centralny, na półsferze i
analityczny.
Podstawowe twierdzenia geometrii rzutowej: twierdzenie
Desarguesa, twierdzenie Pappusa; zastosowanie tych twierdzeń do
konstrukcji geometrycznych.
Zasada dualności w geometrii rzutowej.
Czworokąt zupełny, czwórka harmoniczna.
Współrzędne jednorodne, przekształcenia rzutowe.
Krzywe stożkowe w ujęciu rzutowym, twierdzenie Pascala.
Informacje o modelowaniu wybranych geometrii na gruncie
geometrii rzutowej.
- Informacja o programie Kleina. Typowe niezmienniki w
poznanych geometriach elementarnych.
| SEMESTR 8 | TREŚCI NAUCZANIA |
- Krzywe na płaszczyźnie i w przestrzeni.
Parametryzacja dowolna i naturalna krzywej. Sposoby określania
krzywej: jawny, parametryczny, uwikłany. Krzywizna krzywej i jej
interpretacja geometryczna, okrąg ściśle styczny, promień
krzywizny. Prosta styczna i normalna do krzywej. Trójścian
Freneta, wzory Freneta, skręcenie krzywej i jego interpretacja
geometryczna, krzywa o zerowym skręceniu. Równania naturalne
krzywej.
- Powierzchnie jako rozmaitości dwuwymiarowe. Sfera,
pseudosfera, torus, powierzchnie obrotowe i prostokreślne jako
przykłady powierzchni.
Przedstawienie analityczne powierzchni. Pola wektorowe i krzywe
na powierzchni. Przestrzeń styczna i wektor normalny, orientacja.
Pierwsza forma fundamentalna. Odwzorowanie Gaussa. Druga forma
fundamentalna. Równanie Gaussa, symbole Christoffela.
Odwzorowanie izometryczne powierzchni. Powierzchnie
rozwijalne.
Krzywizna normalna i geodezyjna, przykłady. Linie geodezyjne,
asymptotyczne i krzywiznowe. Krzywizna Gaussa, krzywizny główne.
Wzór Gaussa-Bonneta.
Wykorzystanie powierzchni jako modeli geometrii
nieeuklidesowych.
| UWAGI O REALIZACJI PROGRAMU |
- Program nie powinien być interpretowany w postaci wykładu samej
abstrakcyjnej teorii. Należy operować także przykładami i
przedstawieniem na wpół intuicyjnym. Wynikiem nauczania powinno być
zrozumienie istoty pojęć, problemów i metod, nie zaś samo opanowanie
teorii w sformalizowanej postaci.
- Prowadzący zajęcia powinni robić sporo dygresji historycznych i
dobierać przykłady także z materiału szkolnego tak, by po odpowiednim
zaadoptowaniu można je było przedstawić uczniom szkoły średniej.
- W programie geometrii obok treści występujących w standardach
umieszczono elementy geometrii różniczkowej jako niezbędnej części
wykształcenia absolwenta współczesnych studiów matematycznych.
- Przed wykładowcą stoi trudne zadanie zachęcenia studentów do geometrii,
pokazania, że geometria może być interesująca, by mogli oni przekazać w
przyszłości uczniom taki stosunek do geometrii jaki ukształtowali sobie
na studiach.
- K. Borsuk, W. Szmielew, Podstawy geometrii, PWN, Warszawa
1972.
- B. Gdowski, Elementy geometrii różniczkowej z zadaniami, PWN, Warszawa 1982.
- A. Goetz, Geometria różniczkowa, PWN, Warszawa 1965.
- S. Fudali, Geometria, Uniwersytet Szczeciński,
Szczecin 1989.
Instytut Matematyki Akademii
Pedagogicznej w Krakowie,
1.10.2005
