Celem nauczania jest pogłębienie znajomości logiki
matematycznej i zaznajomienie z podstawami teorii zbiorów,
aby przygotować studenta do zrozumienia innych działów matematyki.
| SEMESTR 1 | TREŚCI NAUCZANIA |
- Elementy logiki matematycznej: rachunek zdań, rachunek
kwantyfikatorów.
- Algebra zbiorów: element zbioru, podzbiór, zbiór potęgowy,
sposoby określania zbiorów, rodzina zbiorów, suma i iloczyn
rodziny zbiorów, różnica zbiorów, dopełnienie, prawa
rachunku zbiorów.
- Aksjomatyka teorii zbiorów (informacyjnie). Pewnik wyboru. Liczby
naturalne: konstrukcja w oparciu o aksjomaty teorii mnogości
(informacyjnie), aksjomaty Peano, indukcja.
- Para uporządkowana, iloczyn kartezjański zbiorów, relacje
dwuargumentowe, dziedzina i przeciwdziedzina. Składanie relacji. Relacja
odwrotna. Relacje zwrotne, symetryczne, antysymetryczne, przechodnie i spójne.
- Relacja równoważności. Klasy abstrakcji. Zbiór ilorazowy.
Zasada abstrakcji: relacja równoważności a podział zbioru.
Zastosowania (m.in. w definicji wektora swobodnego i w konstrukcjach liczb
całkowitych i wymiernych).
| SEMESTR 2 | TREŚCI NAUCZANIA |
- Funkcja. Injekcja, surjekcja, bijekcja. Liczba funkcji odwzorowujących
zbiór skończony w zbiór skończony i liczba permutacji zbioru
skończonego. Obrazy i przeciwobrazy, składanie funkcji i funkcja
odwrotna. Produkt zbiorów.
- Równoliczność zbiorów, moc (liczba kardynalna) zbioru.
Zbiory skończone i nieskończone (kryterium Dedekinda). Zbiory
przeliczalne i nieprzeliczalne, zbiory mocy continuum. Elementy arytmetyki
liczb kardynalnych. Porównywanie liczb kardynalnych, twierdzenie
Cantora-Bernsteina. Twierdzenie Cantora o mocy zbioru potęgowego.
Hipoteza continuum.
- Zbiory częściowo i liniowo uporządkowane. Elementy
wyróżnione w zbiorach uporządkowanych. Porządek gęsty i
ciągły. Zbiory dobrze uporządkowane. Typy porządkowe. Liczby
porządkowe. Lemat Kuratowskiego-Zorna.
| UWAGI O REALIZACJI PROGRAMU |
Treści programowe są formalnie podzielone na elementy logiki
matematycznej i elementy teorii mnogości. Wykładowca ustala
kolejność realizacji programu. Wykłady i ćwiczenia powinny
nawiązywać do materiału szkolnego z matematyki.
Realizacja elementów logiki matematycznej powinna opierać się na
praktycznej analizie rozumowań matematycznych znanych studentom z
matematyki szkolnej.
Analiza logicznej struktury języka matematycznego powinna być jednym z
najważniejszych zagadnień realizowanych w trakcie nauki elementów
logiki matematycznej.
- D. Brydak, E. Turdza, Zbiór zadań z teorii mnogości i
teorii przestrzeni topologicznych i metrycznych, WN WSP, Kraków 1974.
- A. Chronowski, Elementy teorii mnogości, WN WSP, Kraków 1999.
- A. Chronowski, Zadania z elementów teorii mnogości i logiki
matematycznej, Wydawnictwo ,,Dla szkoły'', Wilkowice 1999.
- J. Górowski, A. Łomnicki, Arytmetyka i algebra, cz.
I, Bielsko-Biała 1993.
- K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości, PWN,
Warszawa 1978.
- K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii. PWN,Warszawa 1972
- A. Łomnicki, G. Treliński, B. Wełna, Zbiór zadań ze wstępu
do matematyki, WN WSP, Kraków 1986.
- M. Malec, Elementarny wstęp do teorii relacji, cz. 1, Wydawnictwa
AGH, Kraków 1995.
- W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w
zadaniach, PWN, Warszawa 1975.
- Z. Moszner, Elementy teorii mnogości i topologii, WN WSP,
Kraków 1973.
- H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN, Warszawa 1999.
- S. Turnau, Logiczny wstęp do matematyki, WN WSP, Kraków 1984.
- A. Wojciechowska, Elementy logiki i teorii
mnogości, Warszawa 1979.
Instytut Matematyki Akademii
Pedagogicznej w Krakowie,
1.10.2005
