Nastepny dokument:	Algebra liniowa i geometria
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument:	Równania różniczkowe

Analiza zespolona

CELE NAUCZANIA

Celem nauczania tego przedmiotu jest zaprezentowanie szczególnej klasy funkcji różniczkowalnych o zaskakująco dobrych własnościach. Analiza zespolona łączy takie działy matematyki jak analiza, geometria i topologia.

SEMESTR 7

TREŚCI NAUCZANIA

1. Pojęcia wstępne: liczby zespolone, płaszczyzna otwarta, domknięta, zbiory zwarte, zbiory spójne, ciągi i szeregi liczbowe.
2. Funkcje zespolone zmiennej zespolonej, ciągłość, pochodna, warunki Cauchy'ego-Riemanna. Funkcje elementarne: logarytm i potęga, gałąź argumentu, logarytmu i potęgi, homografia. Ciągi i szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe. Rozwinięcie w szereg potęgowy w otoczeniu punktu. Twierdzenie Abela. Funkcje wykładnicze i trygonometryczne.
3. Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej, krzywe, całka krzywoliniowa. Funkcja pierwotna.
4. Funkcje holomorficzne, funkcje całkowite. Różniczkowanie całki względem parametru. Twierdzenie i wzór całkowy Cauchy'ego dla prostokąta i obszarów wypukłych. Rozwijanie funkcji holomorficznej w szereg potęgowy.
5. Nierówności Cauchy'ego. Twierdzenie Liouville'a i jego zastosowanie do dowodu zasadniczego twierdzenia algebry. Twierdzenie Weierstrassa o ciągach funkcji holomorficznych. Twierdzenie Morery. Zera funkcji holomorficznej. Twierdzenie o identyczności. Zasada maksimum.
6. Szereg Laurenta. Pierścień zbieżności. Punkty osobliwe odosobnione. Rozwinięcie w szereg Laurenta w sąsiedztwie punktu osobliwego. Twierdzenie Casoratiego-Weierstrassa. Twierdzenie Riemanna o osobliwości usuwalnej. Funkcje meromorficzne. Twierdzenie o residuach dla dowolnego zbioru otwartego. Zastosowanie do liczenia całek. Twierdzenie o zachowaniu obszaru.
7. Całkowanie w dziedzinie zespolonej. Indeks punktu względem krzywej, cykle. Ogólne twierdzenie całkowe Cauchy'ego i wzór całkowy Cauchy'ego. Wnioski dla zbiorów otwartych nie rozcinających płaszczyzny.

LITERATURA

1. J. Chądzyński, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 2000.
2. E. Hille, Analytic function theory, t. I, Blaisdell Publishing Company, New York, Toronto, Londyn 1963.
3. J. Krzyż, Zbiór zadań z funkcji analitycznych, PWN, Warszawa 1965.
4. F. Leja, Funkcje zespolone, PWN, Warszawa 1976.
5. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 1986.
6. S. Saks, A. Zygmund, Funkcje analityczne, Monografie Matematyczne, Vol. 28, Warszawa i Wrocław 1952.

Nastepny dokument:	Algebra liniowa i geometria
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument:	Równania różniczkowe