|
| |
| Nastepny dokument: | Algebra |
| Nadrzędny dokument: | PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE |
| Poprzedni dokument: | Analiza zespolona |
| CELE NAUCZANIA |
Celem nauczania jest zaznajomienie studenta z podstawami algebry liniowej i nauczenie go korzystania z nich oraz z algebraizacją geometrii euklidesowej i metodami analitycznymi w rozwiązywaniu problemów geometrycznych.
| SEMESTR 1 | TREŚCI NAUCZANIA |
Grupa, podgrupa, grupy permutacji. Homomorfizmy, izomorfizmy struktur
jednodziałaniowych, ich niezmienniki.
Pierścień, ciało, podpierścień, podciało, ciało liczb zespolonych,
Homomorfizmy struktur dwudziałaniowych.
Przestrzenie liniowe, podprzestrzenie, przestrzeń ilorazowa. Liniowa
niezależność układu wektorów, baza przestrzeni (podprzestrzeni), wymiar
przestrzeni (podprzestrzeni), współrzędne wektora. Suma prosta.
Przekształcenia liniowe, jądro i obraz przekształcenia liniowego.
Macierze, macierz przekształcenia liniowego. Algebra liniowa, algebra
macierzy, algebra endomorfizmów przestrzeni liniowej.
| SEMESTR 2 | TREŚCI NAUCZANIA |
Wyznaczniki. Rząd macierzy, macierz odwrotna do macierzy nieosobliwej.
Układy równań liniowych.
Macierz przejścia od bazy do bazy, związki miedzy współrzędnymi wektora
w różnych bazach, związki miedzy macierzami przekształcenia liniowego w
różnych bazach.
Wartości i wektory własne endomorfizmu przestrzeni liniowej,
diagonalizacja macierzy.
Przekształcenia dwuliniowe symetryczne i ich reprezentacja macierzowa.
Formy kwadratowe i ich macierze, postać kanoniczna, formy określone
dodatnio i ujemnie.
Przestrzeń liniowa euklidesowa, baza ortonormalna, ortogonalizacja
Schmidta, postać iloczynu skalarnego w bazie ortonormalnej.
Przekształcenia ortogonalne, podobieństwa liniowych przestrzeni
euklidesowych, macierzowe reprezentacje przekształceń ortogonalnych.
Endomorfizmy sprzężone i samosprzężone, ich reprezentacja macierzowa.
Orientacja przestrzeni. Iloczyn wektorowy w przestrzeni trójwymiarowej.
| SEMESTR 3 | TREŚCI NAUCZANIA |
Przestrzenie afiniczne, ich podstawowe własności, podprzestrzenie,
podprzestrzeń generowana przez zbiór. Afiniczna niezależność punktów,
układy bazowe przestrzeni afinicznej, współrzędne punktów, kombinacja
barycentryczna punktów, zbiory wypukłe, sympleksy, równoległościany.
Objętości sympleksów i równoległościanów. Przekształcenia afiniczne.
Przestrzeń ortogonalna, przekształcenia ortogonalne i sprzężone,
przestrzeń euklidesowa, podstawowe pojęcia geometrii euklidesowej:
podprzestrzenie, bazy prostopadłe, prostokątne układy współrzędnych w
.
Równania płaszczyzny: wektorowe, parametryczne, zwyczajne. Wzajemne
położenie płaszczyzn. Kąt miedzy płaszczyznami, pęk płaszczyzn.
Równania prostej: wektorowe, parametryczne, krawędziowe.
Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn, kąt między prostymi, kąt
między prostą i płaszczyzną, odległość prostych skośnych.
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego.
Elipsa, hiperbola, parabola - podstawowe własności afiniczne i
metryczne krzywych stożkowych; środek, średnice, bieguny i biegunowe,
asymptoty, ogniska i kierownice. Czwórka harmoniczna punktów.
Stożki, walce, hiperboloidy, paraboloidy, elipsoidy; podstawowe
własności afiniczne i metryczne tych powierzchni. Płaskie przekroje
powierzchni stożkowych. Powierzchnie prostokreślne, powierzchnie
obrotowe i powierzchnie powstałe przez przesuwanie krzywej po krzywej.
Klasyfikacja afiniczna i metryczna krzywych i powierzchni stopnia
drugiego.
Grupa izometrii, grupa podobieństw, reprezentacje analityczne izometrii
i podobieństw. Pojęcie i podstawowe własności przestrzeni Minkowskiego
(czasoprzestrzeni).
| LITERATURA |
|
| |
| Nastepny dokument: | Algebra |
| Nadrzędny dokument: | PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE |
| Poprzedni dokument: | Analiza zespolona |