Nastepny dokument:	Arytmetyka i algebra
Nadrzędny dokument:	Przedmioty
Poprzedni dokument:	Geometria

Wstęp do matematyki z elementami analizy matematycznej

CELE KSZTAŁCENIA

Celem przedmiotu jest z jednej strony pogłębienie i usystematyzowanie wiadomości z logiki matematycznej i teorii zbiorów i funkcji (aby przygotować słuchacza do studiowania innych przedmiotów), a z drugiej strony gruntowne przyswojenie przez słuchaczy podstaw analizy matematycznej koniecznych w nauczaniu szkolnym.

TREŚCI NAUCZANIA

1. Rachunek zdań. Zmienne zdaniowe i funktory zdaniotwórcze. Prawa (tautologie) rachunku zdań. Formy zdaniowe. Równania i nierówności jako formy zdaniowe. Kwantyfikatory. Prawa rachunku kwantyfikatorów.
2. Zbiory, relacje i funkcje. Algebra zbiorów. Iloczyn kartezjański zbiorów. Relacje. Funkcje jako relacje, obraz i przeciwobraz zbioru. Funkcje różnowartościowe. Funkcja odwrotna. Funkcja złożona.
3. Relacja porządkująca i równoważnościowa. Zbiory uporządkowane. Relacja równoważnościowa i zasada abstrakcji. Zastosowanie relacji równoważnościowych do definiowania pojęć i konstrukcji zbiorów liczbowych.
4. Zasada indukcji matematycznej.
5. Ciągi i ich własności. Pojęcie ciągu i podciągu. Ciągi monotoniczne i ograniczone. Ciągi definiowane rekurencyjnie. Ciąg arytmetyczny i geometryczny. Granica ciągu. Granice specjalne. Liczba $e.$
6. Szeregi liczbowe. Pojęcie szeregu. Szereg geometryczny i jego suma. Ważniejsze kryteria zbieżności szeregu.
7. Funkcje liczbo-liczbowe. Zbiór $\mbox{$\mathbb{R}$}$ liczb rzeczywistych. Funkcje określone w podzbiorach $\mbox{$\mathbb{R}$}$ o wartościach w $\mbox{$\mathbb{R}$}.$ Dziedzina funkcji. Wykres funkcji. Miejsca zerowe funkcji. Funkcje parzyste i nieparzyste. Funkcje okresowe. Przekształcanie wykresu funkcji.
8. Funkcje elementarne. Funkcja liniowa i kwadratowa, wielomiany. Funkcja homograficzna, funkcje wymierne. Potęga o wykładniku rzeczywistym. Funkcja potęgowa. Funkcja wykładnicza i logarytmiczna. Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne. Równania i nierówności: liniowe, kwadratowe, wielomianowe, wymierne, wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne.
9. Granica i ciągłość funkcji. Definicja Heine'go i Cauchy'go granicy funkcji, ich równoważność. Granice jednostronne. Asymptoty funkcji. Ciągłość funkcji. Lokalne i globalne własności funkcji ciągłych. Ciągłość funkcji elementarnych.
10. Pochodna funkcji. Definicja pochodnej, interpretacja geometryczna, fizyczna i ekonomiczna pochodnej. Definicja stycznej do wykresu funkcji. Pochodne funkcji elementarnych. Pochodne wyższych rzędów.
11. Twierdzenia o wartości średniej. Twierdzenia: Rolle'a, Lagrange'a i Taylora o wartości średniej. Zastosowanie tych twierdzeń do badania funkcji (monotoniczność, ekstrema lokalne, wypukłość i punkty przegięcia) i dowodów niektórych nierówności. Reguła de l' Hospitala.
12. Całka nieoznaczona. Funkcja pierwotna i jej własności. Całkowanie niektórych funkcji.
13. Całka oznaczona. Sumy całkowe Riemanna. Całka oznaczona Riemanna i jej własności. Związek miary Jordana z całką Riemanna. Geometryczne i fizyczne zastosowania całek Riemanna. Całka Lebesgue'a (informacyjnie) - porównanie z całką Riemanna.

LITERATURA

1. A. Birkholz, Analiza matematyczna dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1977.
2. A. Chronowski, Z. Powązka, Pochodna funkcji, Wydawnictwo ,,Dla Szkoły", Bielsko-Biała 2000.
3. H. Kąkol, Z. Powązka, Pojącie funkcji, Wydawnictwo ,,Dla Szkoły", Bielsko-Biała, 1994 (cz. I), 1995 (cz. II).
4. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I, PWN, Warszawa 1994.
5. Z. Moszner, O teorii relacji, PZWS, Warszawa 1967.
6. J. Musielak, Wstęp do matematyki, PWN, Warszawa 1970.
7. H. i J. Musielakowie, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań, 1993 Tom I (cz. 1), Poznań 2000 Tom I (cz. 2).

Nastepny dokument:	Arytmetyka i algebra
Nadrzędny dokument:	Przedmioty
Poprzedni dokument:	Geometria