Celem nauczania tego przedmiotu jest usystematyzowanie i pogłębienie
wiadomości słuchaczy z arytmetyki i algebry, z całego procesu kształcenia w
szkołach podstawowych, gimnazjach i szkołach średnich, ponadto zapoznanie ich
z podstawowymi pojęciami algebry wyższej (struktury algebraiczne, ich
homomorfizmy, macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych).
- Liczby naturalne, liczby pierwsze (w szczególności dowód Euklidesa, że
liczb pierwszych jest nieskończenie wiele; sita liczb pierwszych),
rozkład liczby naturalnej na iloczyn liczb pierwszych. Zbiór liczb
całkowitych, kongruencje w zbiorze liczb całkowitych, cechy
podzielności (np. przez 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 17), algorytm
Euklidesa, największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna
wielokrotność, liczby względnie pierwsze. Twierdzenie chińskie o
resztach, równania diofantyczne. Systemy pozycyjne i niepozycyjne
zapisu liczb; system dziesiątkowy, dwójkowy. Twierdzenia dotyczące
cyfr jedności potęg liczby zapisanej w systemie dziesiątkowym.
- Grupa, pierścień, ciało, podgrupa, podpierścień, podciało. Struktury
algebraiczne zbiorów liczbowych. Liczby wymierne i rzeczywiste. Dwumian
Newtona, trójkąt Pascala.
- Homomorfizmy struktur algebraicznych, struktury izomorficzne.
- Liczby zespolone. Działania w zbiorze liczb zespolonych, postacie
algebraiczna i trygonometryczna liczby zespolonej; interpretacja
geometryczna, potęgowanie i pierwiastkowanie. Pierwiastki rzeczywiste
i zespolone równania kwadratowego.
- Wielomiany. Działania w zbiorze wielomianów. Podstawowe twierdzenie
algebry. Pierwiastki wymierne, rzeczywiste i zespolone wielomianu.
Twierdzenie Bezouta, schemat Hornera. Wzory Viete'a. Rozkład
wielomianu na czynniki. Równania i nierówności wielomianowe. Funkcje
wymierne. Równania i nierówności wymierne.
- Macierze, działania na macierzach, wyznacznik. Układy równań liniowych,
macierz układu równań liniowych. Badanie istnienia i ilości rozwiązań
układu równań liniowych (twierdzenie Cramera i twierdzenie
Kroneckera-Capellego). Metoda Gaussa. Nierówności liniowe, zastosowanie
do rozwiązywania zadań z programowania liniowego.
- Elementy geometrii analitycznej. Równania prostych i płaszczyzn.
Równoległość prostych i płaszczyzn, proste skośne. Wyznaczanie części
wspólnej prostych i płaszczyzn. Krzywe stożkowe: elipsa, hiperbola,
parabola.
- Przestrzeń wektorowa i podprzestrzeń. Liniowa niezależność i
zależność wektorów. Podprzestrzeń generowana. Baza przestrzeni
wektorowej, współrzędne wektora w bazie. Zmiana układu współrzędnych.
Odwzorowanie liniowe. Reprezentacja macierzowa odwzorowania liniowego.
- G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej, cz. I, II, WNT,
Warszawa 2002.
- A. Chronowski, Podstawy arytmetyki szkolnej, cz. I i
II, Wydawnictwo ,,Kleks", Bielsko- Biała 1999.
- J. Gancarzewicz, Arytmetyka, Wydawnictwo UJ, Kraków 2000.
- B. Gleichgewicht, Elementy algebry abstrakcyjnej, PZWS, Warszawa
1966.
- B. Gleichgewicht, Algebra, PWN, Warszawa 1983.
- A. I. Kostykin,, Wstęp do algebry, cz. I, PWN, Warszawa 2004.
- J. Leśniak, Równania z jedna niewiadomą, PZWS, Warszawa 1958.
- A. Musiatowicz, Metodyka rozwiązywania równań, PZWS, Warszawa 1959.
- Z. Radziszewski, Zbiór zadań z geometrii
analitycznej, Wydawnictwo UMCS, Lublin 2002.
- W. Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna, PWN, Warszawa 1969.
- W. Sierpiński, Wstęp do teorii liczb, PZWS, Warszawa 1965.
- J. Słupecki, K. Hałkowska, K. Piróg-Rzepecka, Elementy arytmetyki
teoretycznej, WSiP, Warszawa 1980.
Instytut Matematyki Akademii
Pedagogicznej w Krakowie,
1.10.2005
