Analiza funkcjonalna

TREŚCI NAUCZANIA

• Przestrzenie unormowane i Banacha: własności normy, zupełność, uzupełnianie przestrzeni unormowanych, przykłady przestrzeni unormowanych ciągowych i funkcyjnych, skończenie wymiarowe przestrzenie unormowane, zwartość (w przypadku skończenie i nieskończenie wymiarowym), szeregi w przestrzeniach unormowanych.
• Przestrzenie unitarne i Hilberta: nierówność Schwarza, związki iloczynu skalarnego z normą, uzupełnianie przestrzeni unitarnych, ortogonalność, dopełnienie ortogonalne (twierdzenie o rzucie ortogonalnym), układy ortonormalne (ortogonalizacja i ortonormalizacja układu wektorów), układy ortonormalne zupełne, szeregi Fouriera (nierówność Bessela, tożsamość Parsevala, układ trygonometryczny, szereg Fouriera względem układu trygonometrycznego), twierdzenie Riesza-Fishera.
• Operatory liniowe ciągłe: ograniczoność i ciągłość, norma operatora, przestrzeń dualna, twierdzenie Riesza o postaci funkcjonałów liniowych w przestrzeni Hilberta, twierdzenie Banacha o operatorze otwartym, twierdzenie o operatorze odwrotnym, twierdzenie o domkniętym wykresie, twierdzenie Banacha-Steinhausa, twierdzenie Hahna-Banacha, operatory sprzężone.
• Informacje uzupełniające: elementy teorii aproksymacji, analizy spektralnej, zastosowania analizy funkcjonalnej.

LITERATURA PODSTAWOWA

1. J. Chmieliński, Analiza funkcjonalna. Notatki do wykładu, wyd. 2., Wydawnictwo Naukowe AP, Kraków 2004.
2. W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, wyd. 2., Biblioteka Matematyczna t.36, PWN, Warszawa 1982.
3. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1989.

LITERATURA UZUPEŁNIAJĄCA

1. A. Alexiewicz, Analiza funkcjonalna, Monografie Matematyczne, t. 40, PWN, Warszawa 1969.
2. J.R. Giles, Introduction to the Analysis of Normed linear Spaces, Cambridge University Press, Cambridge 2000.
3. W. Mlak, Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta, wyd. 4., Biblioteka Matematyczna t. 35, PWN, Warszawa 1987.
4. W. Pleśniak, Wykłady z teorii aproksymacji, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 2000.
5. W. Rudin, Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa 2001.
6. K. Yosida, Functional Analysis, 6th. ed., Springer Verlag, Berlin - Heidelberg - New York 1980.
7. J. B. Conway, A Course in Functional Analysis, 2nd. ed., Springer, New York 1990.