Analiza zespolona

TREŚCI NAUCZANIA

1. Szeregi potęgowe. Lemat Abela. Twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda. Funkcje holomorficzne. Pierścień funkcji holomorficznych. Funkcje całkowite, holomorficzność sumy szeregu potęgowego.
2. Pochodna zespolona. Równania Cauchy'ego Riemanna. Funkcje analityczne. Twierdzenie Weierstrassa o analityczności szeregu potęgowego.
3. Całka krzywoliniowa zorientowana i niezorientowana. Twierdzenie całkowe Cauchy'ego, wzór całkowy Cauchy'ego (dla koła). Holomorficzność funkcji analitycznej, istnienie pochodnych wszystkich rzędów. Nierówność Cauchy'ego. Twierdzenie Liouville'a. Podstawowe twierdzenie algebry.
4. Zera funkcji holomorficznej. Zasada identyczności dla funkcji holomorficznych, zasada maksimum. Twierdzenie Morery.
5. Szereg Laurenta. Punkt regularny, izolowany punkt osobliwy. Punkt pozornie osobliwy, biegun, punkt istotnie osobliwy, przykłady. Charakteryzacja punktów pozornie osobliwych. Twierdzenie Riemanna o osobliwości. Charakteryzacja biegunów. Twierdzenie Casoratiego-Weierstrassa-Sochockiego.
6. Indeks punktu. Residuum, twierdzenie o residuach, zastosowanie twierdzenia o residuach dla niewłaściwej całki rzeczywistej.

LITERATURA

1. J. Bak, D. J. Newmann, Complex analysis, UTM, Springer, 1996.
2. J. Chądzyński, Wstęp do analizy zespolonej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000.
3. E. Hille, Analytic function theory, AMS Bookstore, 1973.
4. J. Krzyż, Zbiór zadań z funkcji analitycznych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005.
5. F. Leja, Funkcje zespolone, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006.
6. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998.
7. S. Saks, A. Zygmund, Funkcje analityczne, Monografie Matematyczne, Vol.28, Warszawa-Wrocław, 1952. (w postaci plików pdf:http:matwbn.icm.edu.pl/ksspis.php?wyd=10).
8. B. W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 1974.
9. W. Więsław, Liczby i geometria, WSiP, Warszawa 1996.