Geometria

TREŚCI NAUCZANIA

I. Elementy geometrii różniczkowej.

1. Hiperpowierzchnie i rozmaitości; rozmaitości Riemanna.
2. Powierzchnie jako rozmaitości dwuwymiarowe, przestrzeń styczna i wektor normalny do powierzchni, orientacja powierzchni.
3. Pierwsza forma podstawowa powierzchni, odwzorowanie Gaussa, druga forma podstawowa.
4. Koneksja Levi-Civita i współczynniki Christoffela.
5. Odwzorowanie izometryczne powierzchni, powierzchnie rozwijalne.
6. Krzywizna normalna i geodezyjna, linie geodezyjne, asymptotyczne i krzywiznowe powierzchni.
7. Krzywizna Gaussa i krzywizny główne powierzchni.
8. Wzory Codazziego i podstawowe twierdzenie teorii powierzchni. Wzór Gaussa-Bonneta.

II. Geometria euklidesowa i nieeuklidesowe w ujęciu syntetycznym.

1. Aksjomatyka Hilberta geometrii euklidesowej, tezy równoważne z aksjomatem Euklidesa.
2. Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego; model Beltramiego-Kleina, Poincare'go (w kole otwartym, otwartej półpłaszczyźnie i na półsferze), wzajemne związki. Dowodzenie twierdzeń w oparciu o modele, w szczególności tez równoważnych zaprzeczeniem aksjomatu Euklidesa.
3. Geometria rzutowa; aksjomatyka płaszczyzny i przestrzeni. Modele geometrii rzutowej: afiniczny, centralny, na sferze, na półsferze i analityczny. Podstawowe twierdzenia geometrii rzutowej: twierdzenie Desarguesa, twierdzenie Pappusa, twierdzenie Fano; zastosowanie tych twierdzeń do konstrukcji geometrycznych. Zasada dualności w geometrii rzutowej. Czworokąt zupełny, czwórka harmoniczna punktów. Współrzędne jednorodne i przekształcenia rzutowe. Krzywe stożkowe w ujęciu rzutowym, twierdzenie Pascala.
4. Informacje o modelowaniu wybranych geometrii na gruncie geometrii rzutowej.
5. Informacja o programie Kleina. Typowe niezmienniki w poznanych geometriach.
6. Wykorzystanie powierzchni jako modeli geometrii nieeuklidesowych.

LITERATURA PODSTAWOWA

1. K. Borsuk i W. Szmielew, Podstawy geometrii, PWN, Warszawa 1975.
2. S. Fudali, Geometria: skrypt dla studentów kierunku nauczycielskiego, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego, Szczecin 1989.
3. B. Gdowski, Elementy geometrii różniczkowej z zadaniami, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2005.
4. A. Goetz, Geometria różniczkowa, PWN, Warszawa 1965.

LITERATURA UZUPEŁNIAJĄCA

1. M. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey 1976.
2. H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer, Geometry revisited, Washington, The Mathematical Association of America, 1996.
3. R. Doman, Wykłady z geometrii elementarnej, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2001.
4. J. Gancarzewicz, B. Opozda, Wstęp do geometrii różniczkowej, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 2003.
5. R. Hartshorne, Foundations of projective geometry, W. A. Benjamin Inc, New York, 1967.
6. E. Marchow, Geometria rzutowa, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2002.
7. J. Oprea, Geometria różniczkowa i jej zastosowania, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.