Celem nauczania tego przedmiotu jest zaprezentowanie
szczególnej klasy funkcji różniczkowalnych o zaskakująco
dobrych własnościach. Analiza zespolona
łączy takie działy matematyki jak
analiza, geometria i topologia.
| SEMESTR 7 | TREŚCI NAUCZANIA |
- Pochodna zespolona. Równania Cauchy'ego-Riemanna.
Funkcje wykładnicze i trygonometryczne. Gałąź jednoznaczna logarytmu.
Homografie. Odwzorowania konforemne. Całka krzywoliniowa.
- Funkcje holomorficzne i całkowite. Funkcja pierwotna.
Twierdzenie Cauchy'ego dla trójkątów i obszarów jednospójnych.
Wzory całkowe na pochodne. Twierdzenie Morery.
- Szeregi potęgowe. Twierdzenie Abela. Rozwijalność funkcji holomorficznej w
szereg potęgowy.
- Nierówności Cauchy'ego. Zera funkcji holomorficznej i ich krotność.
Twierdzenie o identyczności. Lemat Schwarza.
Twierdzenie Weierstrassa o holomorficzności granicy niemal
jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji holomorficznych.
Dowody zasadniczego
twierdzenia algebry z zastosowaniem twierdzenia
Liouville'a, zasady maksimum i twierdzenia
Rouchégo.
- Szereg Laurenta. Pierścień zbieżności. Zachowanie się
funkcji holomorficznej w otoczeniu pierścieniowym bieguna
i punktu istotnie osobliwego. Funkcje meromorficzne i wymierne.
Twierdzenie o residuach i jego zastosowanie do liczenia
całek. Twierdzenie o zachowaniu obszaru.
- J. Chądzyński, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 2000.
- E. Hille, Analytic function theory, t. I, Blaisdell Publishing
Company, New York, Toronto,
Londyn 1963.
- J. Krzyż, Zbiór zadań z funkcji analitycznych, PWN,
Warszawa 1965.
- F. Leja, Funkcje zespolone, PWN,
Warszawa 1976.
- W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN,
Warszawa 1986.
- S. Saks, A. Zygmund, Funkcje analityczne, Monografie
Matematyczne, Vol. 28, Warszawa i Wrocław 1952.
Instytut Matematyki Akademii
Pedagogicznej w Krakowie,
15.01.2002
