Nastepny dokument:	Analiza matematyczna
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument:	Geometria

Wstęp do matematyki

CELE NAUCZANIA

Celem nauczania jest pogłębienie znajomości logiki matematycznej i zaznajomienie z podstawami teorii zbiorów, aby przygotować studenta do zrozumienia innych działów matematyki.

ROK I

TREŚCI NAUCZANIA

1. Elementy logiki matematycznej: rachunek zdań, rachunek kwantyfikatorów.
2. Algebra zbiorów: element zbioru, podzbiór, zbiór potęgowy, sposoby określania zbiorów, rodzina zbiorów, suma i iloczyn rodziny zbiorów, różnica zbiorów, dopełnienie, prawa rachunku zbiorów.
3. Aksjomatyka teorii zbiorów (informacyjnie). Pewnik wyboru. Liczby naturalne: konstrukcja w oparciu o aksjomaty teorii mnogości (informacyjnie), aksjomaty Peano, indukcja.
4. Para uporządkowana, iloczyn kartezjański zbiorów, relacje dwuargumentowe, dziedzina, i przeciwdziedzina. Składanie relacji. Relacja odwrotna. Relacje zwrotne, symetryczne, antysymetryczne, przechodnie i spójne.
5. Relacja równoważności. Klasy abstrakcji. Zbiór ilorazowy. Zasada abstrakcji: relacja równoważności a podział zbioru. Zastosowania (m.in. w definicji wektora swobodnego i w konstrukcjach liczb całkowitych i wymiernych).
6. Funkcja. Injekcja, surjekcja, bijekcja. Liczba funkcji odwzorowujących zbiór skończony w zbiór skończony i liczba permutacji zbioru skończonego. Obrazy i przeciwobrazy, składanie funkcji i funkcja odwrotna. Produkt zbiorów.
7. Równoliczność zbiorów, moc (liczba kardynalna) zbioru. Zbiory skończone i nieskończone. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne, zbiory mocy continuum. Elementy arytmetyki liczb kardynalnych. Porównywanie liczb kardynalnych, twierdzenie Cantora-Bernsteina. Twierdzenie Cantora o mocy zbioru potęgowego. Hipoteza continuum.
8. Zbiory częściowo i liniowo uporządkowane. Elementy wyróżnione w zbiorach uporządkowanych. Porządek gęsty i ciągły. Zbiory dobrze uporządkowane. Typy porządkowe. Liczby porządkowe. Lemat Kuratowskiego-Zorna.

LITERATURA

1. D. Brydak, E. Turdza, Zbiór zadań z teorii mnogości i teorii przestrzeni topologicznych i metrycznych, WN WSP, Kraków 1974.
2. A. Chronowski, Elementy teorii mnogości, WN WSP, Kraków 1999.
3. A. Chronowski, Zadania z elementów teorii mnogości i logiki matematycznej, Wydawnictwo ,,Dla szkoły'', Wilkowice 1999.
4. J. Górowski, A. Łomnicki, Arytmetyka i algebra, cz. I, Bielsko-Biała 1993.
5. K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości, PWN, Warszawa 1978.
6. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii. PWN,Warszawa 1972
7. A. Łomnicki, G. Treliński, B. Wełna, Zbiór zadań ze wstępu do matematyki, WN WSP, Kraków 1986.
8. M. Malec, Elementarny wstęp do teorii relacji, cz. 1, Wydawnictwa AGH, Kraków 1995.
9. W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN, Warszawa 1975.
10. Z. Moszner, Elementy teorii mnogości i topologii, WN WSP, Kraków 1973.
11. H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN, Warszawa 1999.
12. S. Turnau, Logiczny wstęp do matematyki, WN WSP, Kraków 1984.
13. A. Wojciechowska, Elementy logiki i teorii mnogości, Warszawa 1979.

Nastepny dokument:	Analiza matematyczna
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument:	Geometria