Celem kursu jest przyswojenie przez
studentów elementarnych działów analizy matematycznej tzn.
rachunku różniczkowego i całkowego funkcji zmiennych
rzeczywistych (jednej i wielu zmiennych). Wybór materiału pozwala
uwypuklić związki z innymi działami matematyki jak:
geometria, topologia, algebra, rachunek prawdopodobieństwa.
- Liczby rzeczywiste.
- Podstawowe funkcje elementarne w dziedzinie rzeczywistej.
- Teoria granic.
Ciągi liczbowe i ich granice. Granica funkcji rzeczywistej w punkcie.
Zwartość, spójność i zupełność podzbiorów przestrzeni euklidesowej.
- Funkcje ciągłe i ich własności.
Podstawowe funkcje elementarne w dziedzinie rzeczywistej, ich ciągłość i
granice z nimi związane.
- Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej, interpretacja fizyczna i geometryczna
pochodnej,
zastosowania pochodnej. Działania na pochodnych.
Twierdzenia o wartości średniej. Reguła de l'Hospitala.
Wzór Taylora i jego zastosowania (ekstrema lokalne, wypukłość).
Asymptoty, badanie przebiegu zmienności funkcji.
- Szeregi liczbowe.
Kryteria zbieżności szeregów liczbowych. Zbieżność bezwzględna i
warunkowa. Mnożenie szeregów.
- Całka nieoznaczona - metody całkowania. Całka oznaczona.
Zastosowanie geometryczne całki.
Całka niewłaściwa. Kryterium całkowe zbieżności szeregu.
- Ciągi i szeregi funkcyjne.
Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych. Kryteria
zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych.
Ciągłość i różniczkowanie granicy ciągu funkcyjnego i sumy szeregu
funkcyjnego.
- Szeregi potęgowe.
Szereg Taylora.
Rozwijanie w szereg Taylora podstawowych funkcji elementarnych.
- Odwzorowania wielu zmiennych (granice, ciągłość).
- Pochodna funkcji wielu zmiennych.
Pochodne cząstkowe, kierunkowe i różniczkowalność funkcji.
Pochodna jej sens geometryczny.
Działania na odwzorowaniach a pochodne.
Pochodne wyższych rzędów.
Wzór Taylora. Ekstrema funkcji wielu zmiennych.
Twierdzenia o funkcji odwrotnej i uwikłanej.
- Całki wielokrotne.
Całka Riemanna w
. Całki iterowane. Całki w obszarze normalnym i
regularnym.
Twierdzenie o zamianie zmiennych. Zastosowania geometryczne, obliczanie
objętości i pola płata
powierzchniowego.
Zastosowania do fizyki.
- Teoria miary.
Ciała, "sigma"-ciała, miara, zbiory borelowskie. Miara zewnętrzna.
Twierdzenie Caratheodory'ego. Produktowanie miar.
Miara Lebesgue'a w
i w 
.
Własności miary Lebesgue'a.
Informacje o mierze Jordana.
Funkcje mierzalne i całka Lebesgue'a.
Twierdzenie o zamianie zmiennych.
Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki.
Całka Riemanna, a całka Lebesgue'a.
- Pojęcie równania różniczkowego oraz jego rozwiązania, interpretacja
geometryczna.
Istnienie i jednoznaczność rozwiązań równania różniczkowego. Przykłady równań
całkowalnych.
Układy równań różniczkowych liniowych.
- J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy
matematycznej, WN-T, Warszawa 1994.
- G. N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwo
Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego, Gliwice 1999.
- A. Birkholc, Analiza matematyczna, funkcje wielu zmiennych, PWN,
Warszawa 1986.
- B. P. Demidowicz, Sbornik zadacz i uprażnienij po matemematiczeskomu
analizu, Izdat. Nauka, Moskwa 1977.
- G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I,II,III, PWN,
Warszawa 1985.
- W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1978.
- T. Krasiński, Analiza matematyczna (funkcje jednej
zmiennej), WUŁ, Łódź 2003.
- W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach,
cz. I,II, PWN, Warszawa 1994.
- F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN,
Warszawa 1976.
- W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN,
Warszawa 1982.
- R. Sikorski, Rachunek różniczkowy i całkowy (funkcji wielu
zmiennych), PWN, Warszawa 1967.
- S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funcji rzeczywistych, PWN,
Warszawa 1976.
- K. Maurin, Analiza, cz. I,II, PWN, Warszawa 1991.
- L. Schwartz, Kurs analizy matematycznej, t.I,II, PWN, Warszawa 1979.
Instytut Matematyki Akademii
Pedagogicznej w Krakowie,
1.06.2004
